第二部分 重难点06导数必考压轴解答题全归类 讲义（含解析） 2024年高考数学二轮复习系列（新高考专用）

重难点06 导数必考压轴解答题全归类【十一大题型】 【新高考专用】 【题型1 函数的切线问题】 【题型2 （含参）函数的单调性问题】 【题型3 函数的极值、最值问题】 【题型4 函数零点（方程根）问题】 【题型5 不等式的证明】 【题型6 利用导数研究不等式恒成立问题】 【题型7 利用导数研究能成立问题】 【题型8 双变量问题】 【题型9 导数中的极值点偏移问题】 【题型10 导数与三角函数结合问题】 【题型11 导数与数列不等式的综合问题】 导数是高中数学的重要考查内容，是高考必考的热点内容.从近几年的高考情况来看，在解答题中试题的难度较大，主要涉及导数的几何意义、函数的单调性问题、函数的极值和最值问题、函数零点问题、不等式恒成立与存在性问题以及不等式的证明等内容，考查分类讨论、转化与化归等思想，属综合性问题，解题时要灵活求解． 其中，对于不等式证明中极值点偏移、隐零点问题和不等式的放缩应用这三类问题是目前高考导数压轴题的热点方向． 【知识点1 切线方程的求法】 1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略： ①求出函数y=f（x）在x=x0处的导数，即曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处切线的斜率； ②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'（x0）（x-x0）. 2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法： ①设出切点坐标T（x0，f（x0））（不出现y0）； ②利用切点坐标写出切线方程：y=f（x0）+f'（x0）（x-x0）； ③将已知条件代入②中的切线方程求解. 【知识点2 导数中函数单调性问题的解题策略】 1.含参函数的单调性的解题策略： （1）研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. （2）若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 2.根据函数单调性求参数的一般思路： （1）利用集合间的包含关系处理：y=f（x）在（a，b）上单调，则区间（a，b）是相应单调区间的子集. （2）f（x）为增（减）函数的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f'（x）≥0（f'（x）≤0），且在（a，b）内的任一非空子区间上，f'（x）不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. （3）函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【知识点3 函数的极值与最值问题的解题思路】 1.运用导数求函数f（x）极值的一般步骤： （1）确定函数f（x）的定义域； （2）求导数f'（x）； （3）解方程f'（x）=0，求出函数定义域内的所有根； （4）列表检验f'（x）在f'（x）=0的根x0左右两侧值的符号； （5）求出极值. 2.根据函数极值求参数的一般思路： 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方 程组，利用待定系数法求解. 3.利用导数求函数最值的解题策略： （1）利用导数求函数f（x）在[a，b]上的最值的一般步骤： ①求函数在（a，b）内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f（a），f（b）； ③将函数f（x）的各极值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. （2）求函数在无穷区间（或开区间）上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和 极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 【知识点4 导数的综合应用】 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： （1）利用导数研究函数f（x）的最值，转化为f（x）图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. （2）分离参变量，即由f（x）=0分离参变量 ... ...