2024年高考数学专题汇编：空间向量与立体几何（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 2024年高考数学专题汇编：空间向量与立体几何 一、选择题 1．已知在正四棱锥 中（底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥）， ， ，侧棱与底面所成角为 ，侧面与底面所成角为 ，侧面等腰三角形的底角为 ，相邻两侧面的二面角为 ，则下列说法正确的有（　　） A． B． C． D． 2．已知长方体 中， ， ， ，空间中存在一动点 满足 ，记 ， ， ，则（ ）. A．存在点 ，使得 B．存在点 ，使得 C．对任意的点 ，有 D．对任意的点 ，有 3．在棱长为1的正方体 中， 分别在棱 上，且满足 ， ， ， 是平面 ，平面 与平面 的一个公共点，设 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．棱长均为3三棱锥，若空间一点满足则的最小值为(　　) A． B． C． D． 5．在正方体中，动点P在线段上，点E是的中点，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且 ，E为线段AD上一点，若 与 的面积相等，则 的值为（　　） A． B． C． D． 8．已知正方体的棱长为2，、分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题 9．如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，则下列结论正确的为（　　） A． B． C． D．为平面的一个法向量 10．在正四棱柱中，分别是的中点，是棱上一点，则下列结论正确的有（　　） A．若为的中点，则 B．若为的中点，则到的距离为 C．若，则平面 D．的周长的最小值为 三、填空题 11．在空间直角坐标系中，已知点，若四点共面，则　 　． 12．已知，，为空间两两垂直的单位向量，且，，则　 　. 13．如图，在圆锥中，是底面圆O的直径，D，E分别为，的中点，，，则直线与直线所成角的余弦值为　 　． 四、解答题 14．已知是空间的一个基底，且，，，． （1）求证：，，，四点共面； （2） 能否作为空间的一个基底？若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由． 15．在空间直角坐标系中，已知点，，，设，． （1）若与互相垂直，求的值； （2）求点到直线的距离． 16．如图，正三棱柱的所有棱长均为为的中点，为上一点， （1）若，证明：平面； （2）当直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 17．如图，已知边长为6的菱形与相交于，将菱形沿对角线折起，使． （1）求平面与平面的夹角的余弦值； （2）在三棱锥中，设点是上的一个动点，试确定点的位置，使得． 18．如图，多面体中，四边形为正方形，平面平面，，，，，与交于点． （1）若是中点，求证：； （2）求直线和平面所成角的正弦值． 19．如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足. （1）证明：直线平面； （2）是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由. 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】A 9．【答案】B,C 10．【答案】B,C,D 11．【答案】2 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】（1）解：由 ， ， 而 ，则 ， 所以 ， ， ， 四点共面； （2）解：若 共面，则设 ， 即 ， 所以 ， 则 ， 可得 ， 即 ， 即 共面， 故 不能作为基底． 15．【答案】（1）由题意知，， 所以，． 又与互相垂直， 所以，解得． （2）由（1）知，， 所以， 所以点到直线的距离． 16．【答案】（1）证明：记与交于点，连结. 由得. 又平面，平面， 所以平面. （2）解：取中点，以原点，直线为轴，直线为轴，建立如图空间直角坐标系. 则 ... ...