第04讲 空间点﹑直线﹑平面之间的位置关系（知识解读 题型归纳 随堂测试）讲义(原卷版+解析版)

第04讲 空间点﹑直线﹑平面之间的位置关系 考点1：平面的概念 （1）平面的定义 几何里所说的“平面”是从课桌面、黑板面、海洋这样一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的． 平面的两个特点：①平；②无限延展性． （2）平面的画法． ①水平放置的平面通常画成一个平行四边形； ②它的锐角通常画成45°； ③横边长等于其邻边长的2倍． 如果一个平面被另一个平面遮住，为增强立体感，把挡住的部分用虚线画出来(如图所示)． （3）平面的表示． 下图所示的平面可表示为： ①平面ABCD；②平面AC；③平面α. （4）直线在平面内的概念 如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.2.一些文字语言、数学符号与图形的对应关系 数学符号表示 文字语言表达 图形语言表达 A∈l 点A在直线l上 A l 点A在直线l外 A∈α 点A在平面α内 A α 点A在平面α外 l α 直线l在平面α内 l α 直线l在平面α外 l∩m＝A 直线l，m相交于点A α∩β＝l 平面α，β相交于直线l 考点2：平面的基本性质 公理 内容 图形 符号 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A∈l，B∈l且A∈α，B∈α l α 公理2 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β α∩β＝l且P∈l 1.公理1的作用：①用直线检验平面(常被应用于实践，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆)；②判断直线是否在平面内(经常被用于立体几何的说理中)． 2．公理2的作用：①确定平面；②证明点、线共面．公理2中要注意条件“不在同一条直线上的三点”，事实上，共线的三点是不能确定一个平面的．同时要注意经过一点、两点或在同一条直线上的三点可能有无数个平面；过不在同一条直线上的四点，不一定有平面．因此，要充分重视“不在同一条直线上的三点”这一条件的重要性． 3．公理3的主要作用：①判定两个平面是否相交；②证明共线问题；③证明线共点问题. 公理3强调的是两个不重合的平面，只要它们有公共点，其交集就是一条直线．以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面． 考点3：空间两条直线的位置关系 ①从是否有公共点的角度来分： ②从是否共面的角度来分： 1.异面直线 （1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． （2）画法：图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托)． 2.平行公理(公理4) 文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行的传递性． 符号表述： a∥c. 3.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 如图，AB∥A1B1，BC∥B1C1，对于∠ABC与∠A1B1C1两个角的方向相同，这两个角相等；对于∠ABC与∠E1B1C1两个角的方向不同，这两个角互补，即∠ABC＋∠E1B1C1＝180°. 4.直线和平面的位置关系 位置 关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 无公共点 符号 表示 a α a∩α a∥α 图形 表示 考点4：两个平面的位置关系 位置关系 图示 表示法 公共点个数 两平面平行 α∥β 0个 两平面相交 α∩β 有无数个 (在一条直线上) 【题型 1平面的基本性质及推论】 【典例1】（多选题）下列命题正确的是（ ） A．三点确定一个平面 B．一条直线和直线外一点确定一个平面 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 【答案】BD 【分析】根据已知条件，利用平面的基本性质，以及推论，逐一判断即可： 【详解】平面上不共线的三点确定一个平面，故A错误； 一条直线和直线外一点确 ... ...