中小学教育资源及组卷应用平台 人教版初中数学八年级下册 18.2.3 菱形的性质 教学设计 一、教学目标： 1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系. 2.探索并证明菱形的性质定理. 3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题. 二、教学重、难点： 重点：掌握菱形的定义和性质及菱形面积的求法. 难点：灵活运用菱形的性质解决问题. 三、教学过程： 复习回顾 前面我们学行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时，就成为了矩形. 知识精讲 如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢？ 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【针对练习】下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、菱形的关系的是（ ） 折一折、剪一剪 将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开后你知道它是什么图形吗？ 从中你能得到菱形的哪些性质？ 菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴. 菱形还有以下性质： 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 几何符号语言： ∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥BD AC平分∠BAD，AC平分∠BCD BD平分∠ABC，BD平分∠ADC 求证：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 已知：如图，菱形ABCD的对角线相交于O点. 求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC. 证明：∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AB=AD，OB=OD ∴ AC⊥BD，AC平分∠BAD (等腰三角形的三线合一) 同理，AC平分∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC. 如图，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成四个全等的三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等的三角形. 由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？ S菱形ABCD=4S△ABO=4×AO×BO=×2AO×2BO=×AC×BD 典例解析 例1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， AO＝ AC，BO＝ BD. ∵AC＝6cm，BD＝12cm， ∴AO＝3cm，BO＝6cm. 在Rt△ABO中，由勾股定理得 ∴菱形的周长＝4AB＝4×3＝12 (cm)． 【针对练习】四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4.求AC和BD的长. 解：∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AC⊥BD，BD=2OB，AC=2AO=8 在Rt△AOB中，OB===3 ∴ BD=6 例2.如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长. 解：∵ 花坛ABCD的形状是菱形 ∴ AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30° 在Rt△OAB中，AO=AB=×20=10 BO=== ∴ 花坛的两条小路长AC=2AO=20(m)、BD=2BO=(m) 花坛的面积S菱形ABCD=AC·BD=(m2) 【针对练习】已知菱形的两对角线的长分别是6和8，求菱形的周长和面积. 解：∵ 四边形ABCD是菱形，且AC=8，BD=6 ∴ AC⊥BD，AO=AC=4，BO=BD=3 在Rt△AOB中，AB===5 ∴ C菱形ABCD=4×5=20 S菱形ABCD=×6×8=24 例3.如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB. 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC，AD=BA， ∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB， ∴∠ABC=∠DAE， ∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB. 又∵AD＝BA ， ∴△AOD≌△BEA ， ∴AO＝BE . 【针对练习】如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于E， CF⊥AD于F.求证:AE=AF. 证明:连接AC. ∵四边形ABCD是菱形 ∴AC平分∠BAD,即∠EAC=∠FAC ∵CE⊥AB,CF⊥AD ∴∠AEC=∠AFC=90° 又AC=AC ∴△ACE≌△ACF (AAS) ∴AE=AF 例4.如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求 ... ...
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