中小学教育资源及组卷应用平台 人教版初中数学八年级下册 18.2.5 正方形 教学设计 一、教学目标： 1.理解正方形的概念; 2.探索正方形的性质与判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别; 3.会应用正方形的性质与判定解决相关证明及计算问题. 二、教学重、难点： 重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系. 难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用. 三、教学过程： 情境引入 观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在. 知识精讲 正方形的四个角都是_____，四条边都_____.因此，正方形既是_____，又是_____，它既有_____的性质，又有_____的性质. 正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 正方形有哪些性质？ 实验探究 实验一：利用手中矩形纸片用最快的方法剪出一个正方形. 实验二：如何将一个活动的菱形框变成一个正方形？ 思考 1.如果四边形ABCD已经是一个矩形，那么再加上什么条件就可以变为正方形？ 2.如果四边形ABCD已经是一个菱形，那么再加上什么条件就可以变为正方形？ 3.如果四边形ABCD是一般的平行四边形，那么再加上什么条件就可以变为正方形？ 有一组邻边相等的矩形是正方形：有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 思考：正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学们讨论一下，能列表或用框图表示出来吗？ 典例解析 例1.求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O. 求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形. 证明：∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO ∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形， 并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 例2.如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形.求证：∠EAD＝∠EDA＝15°. 证明：∵ΔBEC是等边三角形， ∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°， ∴AB=BE=CE=CD,∠ABE=∠DCE=30°， ∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°， ∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°. 【针对练习】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小． 解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①， AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°. ∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°； 当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC的大小为30°或150°. 【点睛】因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部． 例3.如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF. 解:连接PC，AC. ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD, ∴AP=PC. 又∵PE⊥BC ，PF⊥DC, ∴四边形PECF是矩形, ∴PC=EF. ∴AP=EF. 【点睛】在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明. 【针对练习】如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由. 解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下： ∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE =90° . ∴∠DCF=180°-∠BCE=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF. 延长BE交DE于点M, ∵△BCE≌△DCF , ∴∠CBE =∠CDF. ∵∠DCF =90° , ... ...
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