专题18圆锥曲线高频压轴解答题 讲义（含解析） 2024年高考数学二轮复习讲练（新教材新高考）

专题18 圆锥曲线高频压轴解答题 考点六：定值问题 求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【例6】（2024·山东德州·高三德州市第一中学校考期末） 1．已知点为椭圆C：的左焦点，在C上． (1)求C的方程； (2)已知两点与，过点A的直线l与C交于P，Q两点，且，试判断mn是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 【变式6-1】（2024·黑龙江鸡西·高三校考期末） 2．已知椭圆E：，已知椭圆过点M，. (1)求椭圆E的标准方程； (2)已知直线l：交E于点A，B两点、交x轴于P点，点A关于x轴的对称点为D，直线BD交x轴于Q点. 试探究是否为定值？若是定值，则求出该定值；若不是定值，请说明理由． 【变式6-2】（2024·全国·模拟预测） 3．已知椭圆的左、右顶点分别为为上一点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且． (1)求的标准方程； (2)若为上异于的点，且直线过点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值． 考点七：中点弦与对称问题 对于中点弦问题常用点差法解决． 【例7】（2024·全国·高三专题练习） 4．已知直线l与抛物线交于A，B两点，且线段AB恰好被点平分. (1)求直线l的方程； (2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称 若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请说明理由. 【变式7-1】（2024·全国·高三专题练习） 5．已知曲线C的方程是，其中，，直线l的方程是． (1)请根据a的不同取值，判断曲线C是何种圆锥曲线； (2)若直线l交曲线C于两点M，N，且线段中点的横坐标是，求a的值； (3)若，试问曲线C上是否存在不同的两点A，B，使得A，B关于直线l对称，并说明理由． 【变式7-2】（2024·广东深圳·统考一模） 6．已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点． (1)当k变化时，求点M的轨迹方程； (2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 考点八：定点问题 求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明． 【例8】（2024·海南海口·高三校考阶段练习） 7．已知抛物线为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5. （1）求E的标准方程； （2）设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为，求证：直线过定点. 【变式8-1】（2024·四川雅安·统考一模） 8．已知为坐标原点，过点的动直线与抛物线相交于两点． (1)求； (2)在平面直角坐标系中，是否存在不同于点的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-2】（2024·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习） 9．已知椭圆的左 右顶点分别为为椭圆上任意一点（与不重合），直线和的斜率之积为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率之和为1的两条直线分别与椭圆交于两点，直线是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过定点，请说明理由． 考点九：三点共线问题 证明共线的方法：（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利 ... ...