2025人教版新教材数学高考第一轮基础练--课时规范练41　数列求和

中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教版新教材数学高考第一轮 课时规范练41　数列求和 1.(2024·福建漳州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=0,且　　　　. 在①S7=a4+12,②a1+a4+a7=6这两个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并解答. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=an+,求{bn}的前n项和Tn. 2.(2024·浙江嘉兴模拟)记Sn为数列{an}的前n项和,且a1=3,Sn=nan-n2+n. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=(-1)n+1·,求数列{bn}的前n项和Tn. 3.(2024·河北张家口模拟)已知数列{an}的首项a1=1,Sn为其前n项和,且nan+1=2Sn+2(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<. 4.(2024·山东济宁模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a1=1,nan+1=2Sn+n(n∈N*). (1)求证:数列为常数列; (2)设Tn=+…+,求Tn. 5.已知Sn为数列{an}的前n项和,a1=2,Sn=an+1-3n-2. (1)求数列{an}的通项公式an; (2)设bn=,记{bn}的前n项和为Tn,证明:Tn<. 6.(2024·浙江乐清知临中学模拟)若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数,依次作为等比数列{an}的a1,a2,a3;分别从下表的第一、二、三行中各取一个数,依次作为等差数列{bn}的b1,b2,b3. 行 第一列 第二列 第三列 第一行 1 4 7 第二行 3 6 9 第三行 2 5 8 (1)请写出数列{an},{bn}的一个通项公式; (2)若数列{bn}单调递增,设cn=,数列{cn}的前n项和为Tn.求证:Tn<6. 课时规范练41　数列求和 1.解 (1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,若选择条件①S7=a4+12, 由题可得 解得 ∴an=-1+(n-1)×1=n-2(n∈N*). 若选择条件②a1+a4+a7=6, 由题可得解得 ∴an=-1+(n-1)×1=n-2(n∈N*). (2)由(1)知,选择两个条件中的任何一个,都有an=n-2,则bn=an+=n-2+2n, ∴Tn=-1+21+0+22+…+n-2+2n=(-1+0+1+…+n-2)+(21+22+…+2n)=+2n+1-2. 2.解 (1)由Sn=nan-n2+n,得Sn+1=(n+1)an+1-(n+1)2+n+1, 两式相减得an+1=(n+1)an+1-(n+1)2+n+1-nan+n2-n, 整理得an+1-an=2,可知数列{an}是以3为首项,2为公差的等差数列, 所以an=3+2(n-1)=2n+1. (2)由(1)可得bn=(-1)n+1=(-1)n+1·=-, 则Tn=b1+b2+…+bn=-+-+…+-=-, 所以Tn= 3.(1)解 由题意,当n=1时,a2=2S1+2=2a1+2=4. 当n≥2时,(n-1)an=2Sn-1+2.又nan+1=2Sn+2(n∈N*), 所以,当n≥2时,有nan+1-(n-1)an=2an,即 这表明从第二项起,数列是以=2为首项的常数列,即=2(n≥2). 所以数列{an}的通项公式为an= (2)证明 由(1)可得,b1=,T1=b1= 当n≥2时,bn=, 所以,Tn=b1+b2+…+bn=+…+= 综上所述,对任意的n∈N*,都有Tn< 4.(1)证明 由nan+1=2Sn+n,① 当n=1时,a2=2S1+1=2a1+1=3, 当n≥2时,(n-1)an=2Sn-1+n-1,② ①-②得nan+1-(n-1)an=2an+1, 即nan+1=(n+1)an+1, 所以n(an+1+1)=(n+1)(an+1), 所以,n≥2, 当n=1时,=2=,符合上式, 所以数列为常数列. (2)解 由(1)得=2, 所以an=2n-1, 则Tn=+…++…+, 则Tn=+…+,两式相减得Tn=+…++2+2×-, 所以Tn= 5.(1)解 当n=1时,S1=a1=a2-3-2,又a1=2,则a2=7,因为Sn=an+1-3n-2, 所以Sn-1=an-3(n-1)-2(n≥2), 两式相减得an+1=2an+3(n≥2), 所以an+1+3=2(an+3)(n≥2). a1=2,a1+3=5,a2+3=10, 则a2+3=2(a1+3),即n=1也适合上式,所以{an+3}是以5为首项,2为公比的等比数列,故an+3=5×2n-1, 故an=5×2n-1-3. (2)证明 由(1)得bn= = =, 故Tn=b1+b2+b3+…+bn=+…+=, 当n∈N*时,>0, 故Tn< 6.(1)解 设等比数列{an}的公比为q,等差数列{bn}的公差为d,由题意,取a1=2,a2=4,a3=8,可得公比q=2,则an=2×2n-1=2n,取b1=1,b2=3,b3=5,可得公差d=2,则bn=1+2(n-1)=2n-1; 取b1=4,b2=3,b3=2,可得公差d=-1,则bn=4-(n-1)=5-n; 取b1=4,b2=6,b3=8,可得公差d=2,则bn=4+2(n-1)=2n+2; 取b1=7,b2=6,b3=5,可得公差d=-1,则bn=7-(n-1)=8-n. (2)证明 由{bn}单调递增,得bn=2n-1或bn=2n+2. 当bn=2n-1时 ... ...