2025新教材数学高考第一轮基础练--课时规范练63　空间几何体的内切球（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025新教材数学高考第一轮 课时规范练63　空间几何体的内切球 一、基础巩固练 1.已知正方体的内切球的体积是,则该正方体的体积为(　　) A.4 B.16 C.8 D.64 2.如图,一个“圆柱容球”的几何图形,即圆柱容器里放了一个球,圆柱的底面直径和高都等于球的直径,则圆柱的表面积与球的表面积之比为(　　) A. B.2 C. D. 3.已知四棱锥P-ABCD的各棱长均为2,则其内切球表面积为(　　) A.(8-2)π B.(8-4)π C.(8-6)π D.(8-3)π 4.已知球O内切于圆台(即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切),且圆台的上、下底面半径r1∶r2=2∶3,则圆台的体积与球的体积之比为(　　) A. B. C.2 D. 5.(2024·贵州凯里一中模拟)已知某封闭的直三棱柱各棱长均为2,若三棱柱内有一个球,则该球表面积的最大值为(　　) A. B. C.4π D. 6.(2024·福建龙岩模拟)如图,已知正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体,则该正八面体的内切球表面积为(　　) A. B.π C. D.4π 7.若正三棱柱ABC-A1B1C1的内切球体积为36π,则该正三棱柱的底面边长为　　　　　. 8.(2020·全国Ⅲ,理15,文16)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为　　　　　. 9.如图是一款中空的正三棱柱冰淇淋模具,其内壁恰好是球体的表面,且内壁与棱柱的每一个面都相切(内壁厚度忽略不计),店家可以将不同口味的冰淇淋放入该模具中,再通过按压的方式得到球形冰淇淋.已知该模具底部边长为3 cm. (1)求内壁的面积; (2)求制作该模具所需材料的体积; (3)求模具顶点到内壁的最短距离. 二、综合提升练 10.(2024·贵州贵阳模拟)已知球O的表面积为9π,若球O与正四面体S-ABC的六条棱均相切,则此四面体的体积为(　　) A.9 B.3 C. D. 11.在四面体ABCD中,已知AB=CD=AC=BD=2,AD=BC=4,记四面体ABCD外接球的球心到平面ABC的距离为d1,四面体ABCD内切球的球心到点A的距离为d2,则的值为　　　　　. 12.(2023·全国甲,文16)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,O为AC1的中点,若该正方体的棱与球O的球面有公共点,则球O的半径的取值范围是　　　　　. 课时规范练63　空间几何体的内切球 1.D　解析 根据球的体积公式,得=r3,解得r=2.因为正方体的内切球直径等于正方体的棱长,所以正方体的棱长为4,故正方体的体积V=43=64. 2.C　解析 设球的半径为R,由题意可得圆柱的底面半径为R,高为2R. 设圆柱的表面积为S1,球的表面积为S2, 则 故圆柱的表面积与球的表面积之比为 3.B　解析 因为四棱锥P-ABCD的各棱长均为2,所以四棱锥P-ABCD是正四棱锥, 则S四边形ABCD=2×2=4,S侧=4×2×2=4,S表面积=4+4 过点P作底面垂线,垂足为H,HB=,则PH=, 所以VP-ABCD=S四边形ABCD·PH=S表面积·r,则r=, 故其内切圆表面积为4πr2=(8-4)π. 4.B　解析 如图为该几何体的轴截面,其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆,设圆O与梯形的腰相切于点E,与上、下底面分别相切于点O1,O2.设球的半径为r,圆台上、下底面的半径为r1=2a,r2=3a.因为OD与OA均为角平分线,因此∠DOA=90°, 从而△AO2O∽△OO1D,故r2=r1r2=6a2.设台体体积为V1,球体体积为V2, 则 5.A　解析 设底面三角形的内切圆的半径为r,则(2+2+2)·r=2×2sin4,解得r=,小于高的一半, 所以该球的最大半径为,故球表面积的最大值为S=4πr2= 6.C　解析 因为正方体的棱长为2,则正八面体的棱长为正方体面对角线长的一半,即为 在正八面体中,连接AF,DB,CE,可得AF,DB,CE互相垂直平分,O为正八面体的中心,AO⊥平面BCDE,OD 平面BCDE,则AO⊥OD,且AO=1, 则该正八面体的体积V=21=,该八面体的表面积S=8()2=4设正八面体的内切球半径为r,因为Sr=V,即4r=,解得r=,所以S球=4πr2= 7.6　解析 设正三棱柱的内切球半径为R,则R3=36π,解得R=3. 设正三棱柱底面边长为a,正三棱柱底面三角形的 ... ...