4.4 向量的分解与坐标表示 学习目标 重点难点 1．知道什么是向量的线性组合；能理解并记住定理3；2．能说出什么是平面向量的基以及坐标；3．能记住向量加法、减法、数乘向量运算的坐标运算法则，记住两向量平行的坐标表示方法；4．知道什么是平面向量基本定理. 重点：向量的坐标表示以及向量的线性运算的坐标运算法则；两向量平行的坐标表示方法；难点：平面向量基本定理及其简单应用；疑点：两向量平行的坐标表示方法及灵活应用. 1．定理3 (1)将平面上的位移向量分解为两个单位向量e1，e2的实数倍向量之和xe1＋ye2，并且将系数排列起来，记为(x，y)，称为这个位移向量的坐标．为叙述方便，我们将一组向量的实数倍向量之和称为这些向量的线性组合．比如，xe1＋ye2就是e1，e2的线性组合． (2)定理3：设e1，e2是平面上两个互相垂直的单位向量，则 ①平面上任意一个向量v都可以分解为e1，e2的线性组合：v＝xe1＋ye2，其中x，y是两个实数． ②两个向量u＝ae1＋be2和v＝xe1＋ye2相等的充分必要条件是：a＝x且b＝y. 预习交流1 若用互相垂直的单位向量e1，e2来线性表示0，结果怎样？表示方法唯一吗？ 提示：由于0e1＝0,0e2＝0，所以0e1＋0e2＝0. 由定理3知用e1，e2来线性表示任意一个向量时，表示方法是唯一的，所以若0＝xe1＋ye2，则必有x＝0，y＝0. 2．向量的坐标及其坐标运算 (1)定理3可以理解为：任意取定两个互相垂直的单位向量e1，e2作为“尺”，可以“度量”平面上任何一个向量v，得出两个“量数”x，y，我们将e1，e2称为一组基，用这组基去“度量”每一个向量v，也就是将v写成这组基的线性组合v＝xe1＋ye2，得到的两个“量数”x，y组成一组(x，y)，称为v的坐标，坐标(x，y)由两个数x，y组成，x称为它的第一分量(也称第一坐标)，y称为它的第二分量(也称第二坐标)． (2)两个坐标相加减，将它们的两个分量分别相加减： (x1，y1)±(x2，y2)＝(x1±x2，y1±y2)． 一个数与坐标相乘，将这个数分别乘上坐标的每个分量： a(x，y)＝(ax，ay)． (3)向量平行的坐标表示： 我们用∥来表示两个向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)平行(也就是共线)．现在也可以直接写成(x1，y1)∥(x2，y2)来表示这两个向量平行．即其中一个坐标是另一个坐标的实数倍，也就是说它们的坐标成比例，即x1y2＝y1x2成立．总结为 (x1，y1)∥(x2，y2) x1y2－y1x2＝0. 预习交流2 向量的坐标与点的坐标的写法有什么区别？ 提示：在书写向量的坐标时，注意与点的坐标的区别与联系．向量a＝(x，y)中间用等号连接，而一个点的坐标A(x，y)，中间没有等号． 预习交流3 对于任意两个向量，它们共线的条件能否写为(x1，y1)∥(x2，y2) ＝？ 提示：不能，只有当x2≠0，y2≠0时， 两个向量共线的条件才可以改写为上述形式，因此，对任意两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b的充分必要条件是x1y2－x2y1＝0. 3．平面向量基本定理 定理4(平面向量基本定理)：设e1，e2是平面上两个不平行的非零向量，则 (1)平面上任意一个向量v可以分解为e1，e2的线性组合：v＝xe1＋ye2. (2)向量u＝ae1＋be2与v＝xe1＋ye2相等 线性组合式中的对应系数相等：a＝x且b＝y. 预习交流4 任意两个向量都能做基吗？ 提示：当两个向量共线时，它们只能表示与它们 共线的向量，所以不能作为基，即只有不共线的两个向量才能做基．当然，这两个不共线的向量可以垂直，也可以不垂直． 在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！ 我的学困点 我的学疑点 一、向量的坐标及坐标运算 已知点A，B，C的坐标分别为A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)． (1)求向量＋2－的坐标； (2)若＝，＝－，求D，E两点坐标． 思路分析：对于(1)，可先由A，B，C的坐标求出，，的坐标，再利用向量的加、减及数乘 ... ...
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