2.3 幂函数 自主学习 1．掌握幂函数的概念． 2．熟悉α＝1,2,3，，－1时幂函数y＝xα的图象与性质． 3．能利用幂函数的性质来解决一些实际问题． 1．一般地，幂函数的表达式为_____；其特征是以幂的_____为自变量，_____为常数． 2．幂函数的图象及性质 在同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图．结合图象，填空． (1)所有的幂函数图象都过点_____，在(0，＋∞)上都有定义． (2)若α>0时，幂函数图象过点____ _____，且在第一象限内_____；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象_____． (3)若α<0，则幂函数图象过点_____，并且在第一象限内单调_____，在第一象限内，当x从＋∞趋向于原点时，函数在y轴右方无限地逼近于y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限逼近x轴． (4)当α为奇数时，幂函数图象关于_____对称；当α为偶数时，幂函数图象关于_____对称． (5)幂函数在第_____象限无图象． 对点讲练 理解幂函数的概念 【例1】 函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式． 规律方法 幂函数y＝xα (α∈R)，其中 α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根． 变式迁移1 已知y＝(m2＋2m－2)x＋2n－3是幂函数，求m，n的值． 幂函数单调性的应用 【例2】 比较下列各组数的大小 (1) 3－与3.1－；(2)－8－与－. 规律方法 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数． 变式迁移2 比较下列各组数的大小： (1)－与－； (2)4.1，(－1.9)与3.8－. 幂函数性质的综合应用 【例3】 已知幂函数y＝x 3m－9 (m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的范围． 规律方法 (1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y＝xα，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同． 变式迁移3 已知幂函数y＝xm2－2m－3 (m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值，且画出它的图象． 1．求幂函数的定义域时要看指数的正负和 指数中的m是否为偶数；判断幂函数的奇偶性时要看指数中的m、n是奇数还是偶数．y＝xα，当α＝(m、n∈N*，m、n互质)时，有： n m y＝x的奇偶性 定义域 奇数 偶数 非奇非偶函数 [0，＋∞) 偶数 奇数 偶函数 (－∞，＋∞) 奇数 奇数 奇函数 (－∞，＋∞) 2.幂函数y＝x的单调性，在(0，＋∞)上，>0时为增函数，<0时为减函数． 课时作业 一、选择题 1．下列命题： ①幂函数的图象都经过点(1,1)和 点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n＝0时，y＝xn的图象是一条直线；④幂函数y＝xn，当n>0时，是增函数；⑤幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小． 其中正确的是( ) A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤ 2．下列函数中，不是幂函数的是( ) A．y＝2x B．y＝x－1 C．y＝ D．y＝x2 3．设α∈，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．当x∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y＝x下方的偶函数是( ) A．y＝x B．y＝x－2 C．y＝x2 D．y＝x－1 5．如果幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象不过原点，则m的取值是( ) A．－1≤m≤2 B．m＝1或m＝2 C．m＝2 D．m＝1 二、填空题 6．若幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(25)＝_____. 7．设f(x)是定义在R上的奇函数 ，且当x≥0时，f(x)＝x2.若对任意的x∈[t，t＋2]，不等式f(x＋t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是_____． 8 ... ...
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