专题2平面向量基本定理与坐标运算 期中复习讲义 高中数学人教A版（2019）必修第二册（含解析）

专题2 平面向量基本定理和坐标运算 【必备知识】平面向量基本定理 （1）定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2． （2）基底：不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 单位向量定义：长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量．设是非零向量同方向的单位向量，则或． 【必备技能】用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的． 【考向总览】 考向一 基底的概念与基底表示向量 （★★★） 考向二 平面向量基本定理及其应用 （★★★★） 【考向归类】 考向一 基底的概念与基底表示向量 （22-23高一下·河南·期中） 【典例1-1】 1．设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ） A．和 B．与 C．与 D．与 （2024高一下·全国·专题练习） 【典例1-2】 2．在中，，，若点满足，以作为基底，则等于（ ） A． B． C． D． 【举一反三】 （23-24高一下·山东滨州·开学考试） 3．若在三角形中，，，则（ ） A． B． C． D． （2024高一下·全国·专题练习） 4．下列说法中正确的是（ ） A．平面向量的一个基底中，，一定都是非零向量 B．在平面向量基本定理中，若，则 C．若单位向量，的夹角为，则在上的投影向量是 D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的 考向二 平面向量基本定理及其应用 （2024·云南楚雄·模拟预测） 【典例2-1】 5．已知，，是直线上不同的三点，点在外，若，则（ ） A．3 B．2 C． D． 【典例2-2】 6．已知为的边所在直线上一点，且，点在直线上，且，则（ ） A． B． C． D． 【举一反三】 （23-24高一上·北京昌平·期末） 7．在中，点D，E满足，.若，则 . （23-24高一上·辽宁大连·期末） 8．如图，在中，，，AD与BC相交于点M.设，. (1)试用基底表示向量； (2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，若，，求的值. 【必备知识】平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对（x，y）是一一对应的，把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y），其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y． 平面向量的坐标运算 （1）设=，=，则=． （2）设=，=，则=． （3）设，，则． （4）设=，，则=． （5）设=，=，则（斜乘相减等于零）． （6）设=，则||=． 【必备技能】求解向量坐标运算问题的一般思路 1．向量问题坐标化 向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算． 2．巧借方程思想求坐标 向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用． 3．妙用待定系数法求系数 利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数． 【考向总览】 考向一 向量的线性运算坐标表示（★★★★） 考向二 根据线性运算结果求参数（★★★） 考向三 线段的定比分点（★★★） 【考向归类】 考向一 向量的线性运算坐标表示 （2024高一下·全国·专题练习） 【典例1-1】 9．已知向量，，则（ ） A． B． C． D．1 （2024高一下·全国·专题练习） 【典例1-2】 10．已知向量，，则等于（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 （2024高一下·全国·专题练习） 11． ... ...