第07讲：三角函数与y＝Asin(ωx＋φ)的图像和性质 学案 (原卷版+解析版)

第07讲：三角函数与y＝Asin(ωx＋φ)的图像和性质 【考点梳理】 考点一：正弦函数图像和性质 考点二：余弦函数的图像和性质 考点三：正切函数的图像和性质 考点四：正（余）型函数图像的平移伸缩变换 考点五：求图像变化前后的解析式 考点六：三角函数性质的综合问题 考点七：函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合性问题 【知识梳理】 知识一．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)． 余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)． 知识二．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z} 值域 [－1,1] [－1,1] R 单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增； 在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增； 在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增 最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (＋kπ，0) (k∈Z) (，0)(k∈Z) 对称轴方程 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 周期 2π 2π π 知识三．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)，x∈R 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 知识四：.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示： x ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 知识五.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下： 技巧归纳： 1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标． 【题型归纳】 题型一：正弦函数图像和性质 1．（2023下·广东湛江·高一湛江市第二中学校考期中）已知函数在区间内是减函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦函数的单调性运算即可得解. 【详解】解：∵在区间内是增函数， 而在区间内是减函数， ∴. ∵，∴， ∴，解得：. 综上，. 故选：B. 2．（2023上·全国·高一期末）函数的部分图象如图所示，则（ ） A．的单调递增区间是 B．图象的一条对称轴方程是 C．图象的对称中心是， D．函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象 【答案】B 【分析】根据函数图像易得，，从而可得出，再将点代入求得，从而得到函数的解析式，再根据正弦函数的性质逐一判断即可得出答案. 【详解】由图像可得，，， ，将点代入可得，又，，所以函数， 令，解得，， 故函数的增区间为，，故A错误； 由，所以是函数的一条对称轴，故B正确； 令，解得，所以函数的对称中心为，，故C错误； 将函数的图像向左平移个单位，得到，该函数为偶函数，故D错误. 故选：B. 3．（2024上·四川成都·高一统考期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦函数的单调性，列出不等式求解，即可得答案； （2）根据，确定，结合正弦函数的性质，即可求得答案. 【详解】（1）令，则的单调递增区间为， 故，解得， 故函数的单调递增区间为； （2）因为，故， 则，故， 即的值域为. 题型二：余弦函数的图像和性质 4．（2024上·云南昆明·高一统考期末）已知函数，下列说法正确的是（ ） A．是函数的一个周期 B．函数的对称轴是 C．函数取最大值时自变量 ... ...