新课第02讲：平面向量的运算 学案 (原卷版+解析版)

新课第02讲：平面向量的运算 【考点梳理】 考点一：向量加法法则 考点二：向量加法的运算律 考点三：向量加法法则的几何应用 考点四：相反向量 考点五：向量减法法则 考点六：向量减法的运算律 考点七：向量减法法则的几何应用 考点八：向量加减法的综合问题 【知识梳理】 知识点一　向量加法的定义及其运算法则 1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 2.向量求和的法则 向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作 OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 知识点二　向量加法的运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 技巧：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 知识点三：相反向量 1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. 2.性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量. (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 知识点四：向量的减法 1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示. 3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. 【题型归纳】 题型一：向量加法法则 1．（2023下·海南省直辖县级单位·高一校考期中）如图，在正六边形ABCDEF中，（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加法法则即可求解. 【详解】由向量的加法法则，得. 故选：A. 2．（2023下·云南迪庆·高一统考期末）四边形是梯形，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法运算法则即可求解. 【详解】, 故选：B 3．（2023下·江西赣州·高一校联考期中）化简以下各式:①；②；③；④，结果为零向量的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平面向量的加法运算即可求解. 【详解】对于①，,故①正确； 对于②，,故②错误； 对于③，，故③正确； 对于④，,故④正确. 故结果为零向量的个数是3. 故选:C. 题型二：向量加法的运算律 4．（2022下·广东梅州·高一兴宁市第一中学校考期中）等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量加法的运算律计算可得； 【详解】解： 故选：B 5．（2022·高一课时练习）已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据向量的加法运算律判断 【详解】因为向量的加法满足交换律和结合律， 所以，，，，都等于， 故选：A 6．（2020下·辽宁阜新·高一校考阶段练习）下列向量的运算结果为零向量的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据向量加法运算规律，逐项检验，即可求得答案. 【详解】对A，； 对B，； 对C，； 对D，. 综上所述，只有C符合题意 故选：C. 题型三：向量加法法则的几何应用 7．（2023下·广西·高一统考期末）在矩形中，，，则等于（ ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】根据向量的加法运算法化简，根据矩形的特征可求对角线的长度，进而可求模长． 【分析】在 ... ...