6.2.3~6.2.4组合与组合数 1.通过实例理解组合的概念，并会应用组合知识解决简单的实际问题； 2.能利用组合数公式解决组合数的方程及不等式问题； 3.能解决有限制条件的组合问题 一、组合 ①组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. ②组合数、组合数公式：从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. ，其中，且 规定： ③排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 （关键是看选出的元素是否与顺序有关,若有关系,则是排列问题，若无关系，则是组合问题） ④组合数的性质 性质1：；性质2：. 二、组合问题 问题 方法 平均分组问题 一般先分堆，再除以. 不平均分组问题 先分堆，其中有组个数一样，再除以 相同元素的“分配”问题 “隔板法”：将个相同的元素分成份,每份至少一个元素,可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中， 考点01组合数的化简及证明 1．计算（ ） A．34 B．35 C．36 D．37 【答案】A 【分析】 直接由组合数公式计算即可. 【详解】由题意. 故选：A. 2．（多选）下列等式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】计算出排列数和组合数后判断. 【详解】，，，A正确； ，B错； ，，C正确； ，，D正确． 故选：ACD． 3．（1）计算：①＝ ； ②＝ ． 【答案】 0 466 【分析】利用组合数和排列数的公式可得答案；根据组合数的特征求出，再利用组合数公式可得答案. 【详解】① ②由得，因为为整数，所以. 所以原式. 4．设n为正整数，求值： (1)； (2)． 【答案】(1)4或7或11 (2)124 【分析】（1）根据题意列出不等式求出值，再分别计算即可. （2）根据给定组合式结合组合数的定义列出不等式求得n值，再利用组合数的性质计算即得. 【详解】（1）由题意知 ，， 又取2，3，4. 当时，值为4；当时，值为7；当时，值为11. （2）依题意，，即，解得， 所以，原式. 5．证明： 【答案】证明见解析 【分析】根据组合数公式证明即可. 【详解】证明：. 6．求证： (1)， (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用组合数计算公式变形，计算推理作答； （2）利用组合数计算公式变形，计算推理作答. 【详解】（1）因为， 所以成立； （2）因为， ， 所以成立. 考点02组合数方程及不等式 7．若，则 . 【答案】1或2023 【分析】由组合知识进行求解. 【详解】由于，故或，其他值不合要求. 故答案为：1或2023 8．不等式的解为 ． 【答案】 【分析】根据组合数的计算公式化简已知不等式，从而求得不等式的解. 【详解】依题意，所以且， 由得， ， 所以不等式的解为. 故答案为： 9．（1）若，则x= . （2）不等式的解集为 . 【答案】 5 【分析】（1）根据排列数公式即可求解； （2）根据组合数的运算公式及性质化简不等式求其解集即可. 【详解】（1）且， ，化简得， 解得（不合题意，舍去），； （2）∵，∴，即，解得. ∵，∴.∴的取值集合为. 故答案为：5；. 10．（1）已知，计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）126；（2）． 【分析】（1）根据给定条件，利用组合数的性质求出并计算得解. （2）利用组合计算公式、排列数公式求解即得. 【详解】（1）因为，则，解得，经验证符合题意， 所以 . （2）由，得， 即，而由，知，解得， 所以原方程的解为. 11．已知，求n. 【答案】6 【分析】利用组合数性质以及组合数公式和排列数公式，将化简并展开，解方程即可求得答案. 【详解】由得， 即，即， 解得，或，由知， 故. 12．解方程：. 【答案】 【分析】根据组合数的定义化简方程求其解，再 ... ...
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