1.3导数在研究函数中的应用 第一课时 导数与函数的单调性 【考点梳理】 考点1、函数的单调性 在区间(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0. f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上为增函数． f′(x)≤0?f(x)在(a，b)上为减函数． 【考向】判断或证明函数的单调性 【例题分析】 例1、已知函数f(x)＝ax2＋lnx(x>0)，求函数f(x)的单调区间． 【变式训练】 1、函数f(x)＝ln(x＋1) (a>1)．讨论f(x)的单调性． 【适应训练】 2、已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1.讨论函数f(x)的单调性． 分析：本题考查了导数的计算、导数的应用，体现了较强的分析能力、转化能力及应用能力，还体现了分类讨论思想．解题思路是求函数导数，讨论参数，确定导数的正负，判定函数的增减21世纪教育网版权所有 3、设f(x)＝x3－3ax(a≠0)，求函数f(x)的单调区间． 【课外作业】 4、已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中g(x)的函数图象在点(1，g(1))处的切线 平行于x轴．(1)确定a与b的关系；(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性． 5、已知常数,函数. (1)讨论在区间上的单调性; (2)若存在两个极值点,且,求的取值范围. 考点二、求函数的单调区间 【考点梳理】 求函数的单调区间的“两个”方法 方法一： (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求导数y′＝f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 方法二： (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根； (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小 到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间； (4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性． 【例题分析】 例1.求函数y＝x2(x－3)的减区间？ 例2.已知函数f(x)＝(x－k)ex；求f(x)的单调区间； 【变式训练】 1．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为( ) A．(0,1) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 3.已知函数f (x)＝2x3＋tx2－3t2x＋(t≠0)，求f(x)的单调区间． 4.已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a＞0)． (1)若函数y＝f(x)的导函数是奇函数，求a的值； (2)求函数y＝f(x)的单调区间． 【适应训练】 5.已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x. (1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．21教育网 【课外作业】 6.已知函数f(x)＝ (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)求函数f(x)的零点． 考点三、已知函数的单调性求参数的范围 【考点梳理】 已知函数单调性，求参数范围的两个方法 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．21cnjy.com (2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．2·1·c·n·j·y 【提醒】f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．21·世纪*教育网 【例题分析】 例1. 已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求实数a的取值范围． 【变式训练】 1.若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是_____． 2.已知函数f(x)＝x3－ax－1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调 ... ...
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