专题4 复数 【必备知识】 知识点一 复数的概念：z＝a＋bi（a，b∈R） 全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集. 知识点二 复数的分类 1.复数z＝a＋bi（a，b∈R） 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 知识点三 复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d. 【必备技能】 1.求解复数分类问题的关键 （1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0． （2）复数z＝a＋bi（a，b∈R）为实数的充要条件是b＝0． （3）复数z＝a＋bi（a，b∈R）为虚数的充要条件是b≠0． 注意：依据复数的类型求参数时要先确定使代数式有意义的参数取值，再结合以上结论求解． 2.复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解. 3.虚数之间不能比较大小，实数与虚数之间也不能比较大小. 【考向总览】 考向一：数系的扩充和复数的概念（★） 考向二：复数的分类（★★） 考向三：复数相等（★★） 【考向归类】 考向一：数系的扩充和复数的概念 【典例1-1】（23-24高二下·北京·期中考试）已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据共轭复数的定义以及复数的减法运算即可求解. 【详解】设，则，由可得，所以， 故z的虚部为， 故选：B 【典例1-2】（23-24高二·南通中学期中考试）已知，且复数的实部与虚部互为相反数，则（ ） A．50 B． C．32 D． 【答案】B 【分析】先由乘法法则化简复数，结合题目列等式求得，进而可求模长. 【详解】由题意得：， 复数的实部为，虚部为， 由于实部与虚部互为相反数，则，得， 所以，得：． 故选：B. 【备考提醒】 复数概念的几个关注点 （1）复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. （2）不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分. （3）如果两个复数都是实数可以比较大小，否则不能比较大小. 【举一反三】 （2024·河南信阳·期中） 1．若，则z的虚部为（ ） A． B． C． D．1 （23-24高二上·辽宁朝阳·期中） 2．已知复数z满足，则的虚部是（ ） A． B．1 C． D．i （2023·江苏苏州·期中） 3．设（为虚数单位）为复数，则下列说法正确的是（ ） A．若是纯虚数，则或 B．复数模长的平方值等于复数的平方值 C．若的模长为，则的最大值为 D．若，则 考向二：复数的分类 【典例2-1】（23-24高三上·江苏南京·期中）若复数是纯虚数，则实数（ ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】利用复数的定义及乘法法则计算即可. 【详解】由， 根据题意可知. 故选：B 【典例2-2】（22-23高一下·陕西咸阳·期中）设复数． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求． 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）利用复数的加法及复数的分类求出，再利用复数乘法求解即得. （2）利用复数除法及复数的分类求出即得. 【详解】（1）由，得，而是实数， 于是，解得， 所以． （2）依题意，是纯虚数， 因此，解得， 所以． 【备考提醒】 利用复数的分类求参数的方法及注意事项 （1）利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为z＝a＋bi（a，b∈R）的形式，若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解. （2）要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解. 【举一反三】 （2024·甘肃陇南·期中） 4．已知a为实数,复数为纯虚数,则 A． B．1 C． D．2 （23-24高三上·辽宁·期中） 5．已 ... ...
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