6.2 平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算 《西游记》中唐僧取经的路线是从东土大唐出发,先绕到火焰山,再往西天,若孙悟空单独前往,可以直接飞往西天。如果把位移看成向量,我们就引入了向量的运算。 1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及运算法则,理解其几何意义。 2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。 1.向量的加法 (1)定义:求两个向量 。 (2)运算法则: 图示 几何意义 已知非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作 ,即a+b=+= 以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作 OACB,则以O为起点的向量(OC是 OACB的对角线)就是向量a与b的和 (3)规定:对于零向量与任意向量a,规定a+0=0+a=a。 (4)位移的合成可以看作向量加法 的物理模型;力的合成可以看作向量加法 的物理模型。 (5)一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b 时等号成立。 2.向量加法的运算律 (1)交换律:a+b=b+a。 (2)结合律:a+(b+c)=(a+b)+c。 微提醒：用向量加法的三角形法则时要注意“首尾相接”的条件。而向量加法的平行四边形法则应用的前提是共起点。 微思考：向量a+b与非零向量a,b的模及方向的关系 类型一 向量加法运算及其几何意义 【例1】 (1)如图,已知两个不共线的非零向量a,b,求作a+b。 (2)如图,已知正方形ABCD,=a,=b,=c,试作向量a+b+c。 (1)向量的三角形法则中强调“首尾相接”,向量的平行四边形法则中强调的是“共起点”。 (2)向量的三角形法则适用于任意两个非零向量求和,而向量的平行四边形法则仅适用于不共线的两个非零向量求和。 (3)当两个非零向量不共线时,向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的。 【变式训练】 如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填上一个向量): (1)+= ; (2)+= ; (3)++= 。 类型二 向量加法的运算律 【例2】 (1)下列向量的运算结果为零向量的是( ) A.+ B.++ C.+++ D.+++ (2)++++等于( ) A. B.0 C. D. 向量加法运算律的意义和应用原则: (1)意义:向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据,实现了恰当运用向量加法法则运算的目的。实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。 (2)应用原则:利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序。 【变式训练】 如图所示,在 ABCD中,++=( ) A. B. C. D. 类型三 向量加法的实际应用 【例3】 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输。如图,一艘船从长江南岸A地出发,垂直于对岸航行,航行速度的大小为15 km/h,同时江水的速度为向东6 km/h。 (1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度; (2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向 (用与江水速度间的夹角表示,精确到1°) 用向量知识研究物理问题的基本思路和方法: (1)通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题; (2)利用向量知识获得向量问题的解;( 3)利用这个结果对物理现象作出合理的解释。 【变式训练】 一条小船要渡过一条两岸平行的小河,河的宽度d=100 m,船在静水中的航行速度大小为|v1|=4 m/s,水流的速度大小为|v2|=2 m/s,试问当船头与水流方向的夹角θ为多大时,小船行驶到对岸所用的时间最少 此时小船的实际航行方向与水流方向的夹角的正切值是多大 1.向量加法的性质应用 【典例1】 设|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最大值与最小值分别为 , 。 2.向量加法的多边形法则 向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则,即把每个向量平移,使这些向量首尾相连,则由第一个向量的起点指向最后一 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
