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课件网) 空间向量运算的坐标表示 新授课 1.掌握空间向量线性运算和数量积的坐标表示． 2.掌握向量平行、垂直的坐标表示，并能解决相关的平行、垂直问题． 3.能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式. 任务：类比平面向量线性运算，探索空间向量的线性运算. 目标一：掌握空间向量线性运算和数量积的坐标表示. (1)在前面的学习中我们已经学面向量的加减、数乘和数量积运算. 如何对平面向量进行坐标运算？ 设向量 ① ② ③ ④ (2) 类比平面向量运算的坐标表示说说空间向量运算坐标表示是怎样的？如何证明？ 设 ① ② ③ ④ 设{i, j, k}为空间的一个单位正交基底， 所以 因为 所以 则 以数量积的证明为例，证明： 新知讲解 设空间向量 则 ① ② ③ ④ 练一练 如图，在空间直角坐标系中Oxyz，在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证EF⊥DA1. 又因为 所以 所以 所以 即 所以 解：因为E(2,2,1)，F(1,1,2)， 目标二：掌握向量平行、垂直的坐标表示，并能解决相关的平行、垂直问题. 任务1：回顾平面向量平行和垂直的坐标表达式，探究空间向量平行和垂直的坐标表达式. (1)设 若a∥b，则如何用向量坐标表示？ 因为a∥b的充要条件是a=λb，λ属于全体实数， 所以可以用坐标表示为(a1,a2)=λ( b1,b2)，得到方程组 消去λ，得到平面向量平行充要条件的坐标表示：a1b2-a2b1=0 当b≠0时，因为a∥b的充要条件是a=λb，λ属于全体实数， 所以可以用坐标表示为(a1,a2,a3)=λ( b1,b2,b3)，得到方程组 这就是空间向量平行的充要条件的坐标表示. (2)设 若a∥b，如何用向量坐标表示？ 思考：这个充要条件能否表示为 ？ 空间向量平行的充要条件不等价于 ， 因为b≠0的含义是b的坐标分量b1,b2,b3至少有一个不为零,而非每个坐标分量都不为零. 例如，当b与坐标平面Oxy平行时，b3=0，此时 无意义. 因此只有在b与三个坐标平面均不平行， 即b1,b2,b3均不为零时才能有a∥b . 特殊地，当b=0时，b=(0,0,0)，此时b与任意向量都平行. 归纳总结 设空间向量a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3) 若a∥b，则 . 若a⊥b，则其充要条件为a·b=a1b1+a2b2+a3b3=0. 任务2：探究空间向量模、夹角的坐标表达式. (1)设a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则平面向量的模长和夹角公式是怎样的？ (2)设a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)，空间向量的模长和夹角公式怎样用坐标表示 如何证明 证明过程略. (3)如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2) ，则 的表达式是怎样的？ 由题可知，向量 于是 所以 这就是空间两点间的距离公式. 归纳总结 1.设a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)， 则 （1） ； （2） 2.设P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)，则 练一练 如图，在空间直角坐标系中Oxyz，在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证AE与CD1所成角的余弦值. 由图可知 ， 所以 , 所以 ，所以 ， 所以 . 所以AE与CD1所成角为向量 ，向量 夹角的补角. 所以AE与CD1所成角的余弦值是 . 任务：根据空间向量坐标表示的关键词，构建知识导图. “加、减法”、“数乘”、“数量积”、“平行”、“垂直”、“模长”、“夹角” ... ...
