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课件网) 空间中点、直线和平面的向量表示 新授课 1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量和平面的法向量. 2.掌握平面法向量的求法. 任务1：探究空间直线的向量表示. 目标一：能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量和平面的法向量. (1)如图，在空间中，固定平面，如何用向量表示空间中的一个点？ 在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用 来表示，我们把 称为点P的位置向量. 定点O P p (2)如图，空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l，如何用移动的向量表示固定直线l 如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取 设P是直线l上的任意一点，由向量共线可知： P a B 点P在直线l上 充要条件 存在实数t，使得 即 A 如图，取定空间中的任意一点O， P a A B 可以得到：P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ① 或 ② O ① ②式称为空间直线l的向量表示. 由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 新知讲解 1.设A是直线上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取 =a，设P是l上任意一点： (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝ta，即 ＝t . (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝ ＋ta. (3)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝ ＋t . 新知讲解 2. ＝ ＋ta、 ＝ ＋t 都称为空间向量表达式，空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 注意： (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备两个条件： ①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 练一练 已知直线l的一个方向向量m＝(2，-1,3)，且直线l过A(0,y,3)和B(－1,2,z)两点，则y－z等于( ) A.0 B. 1 C. D.3 A 任务2：探究平面的空间向量表示. (1)一个定点和一个方向能确定一条直线，那么如图所示一个定点和两个定方向能确定一个平面吗？ 如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得 ＝xa＋yb. (2)如图所示，如果O不是两条直线的交点，而是平面外的一点，那么如何用向量表示平面呢？ 如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使 ＝ ＋x ＋y .我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 如何证明(2)的结论？ 设取定空间任意一点O，取平面ABC的任意一点P，则 ， 又根据三角形的加法法则，有 , 所以 ＝ ＋x ＋y . (3)如图所示，直线l⊥α，A∈α，过一点且与已知直线垂直的平面有多少个？ (4)由前面问题可知，一个定点和两个定方向可以确定一个平面，如果再减少一个条件，即一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能，这个定方向有什么特点？ 新知讲解 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量. 给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 . 如果另有一条直线m⊥α，在直线m上任取向量b, b与a有什么关系？ 注意点： (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行． 目标二：掌握平面法向量的求法. 任务1：根据线面垂直以及向量垂直的性质，求解平面法向量. 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1 =2，M为AB中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系. （1）求平面BCC1B1的一个法向量． （2）求平面MCA ... ...
