§2．5 直线与圆的位置关系（2） 一、自主研读初步学 方法指导 知识点一：圆的切线的判定方法1：圆心到直线的距离等于半径的直线是这个圆的切线. 即：d=r直线l与⊙O相切 知识点二：圆的切线的判定方法2：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 符号语言（如图）：∵OA⊥l于点A，OA=r ∴直线l是⊙O的切线 1.如图：P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D.AB与以点P为圆心，PD为半径的圆相切吗？为什么？ 说明：直线与圆没有已知公共点，要证明直线是圆的切线，可利用“圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线”来证明.操作步骤是： ①作垂直：过圆心作已知直线的垂线段； ②证半径：证明垂线段的长等于圆的半径. 知识点二：圆的切线的判定方法2：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 符号语言（如图）：∵OA⊥l于点A，OA是⊙O的半径 ∴直线l是⊙O的切线 2.已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为D，连接BC，BC平分∠ABD，求证：CD为⊙O的切线. 说明：直线与圆有已知公共点，要证明直线是圆的切线，可利用“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的半径”来证明.操作步骤是： ①作半径：连接圆心和已知公共点； ②证垂直：证明所作半径与已知直线垂直. 思路：要证明一条直线是圆的切线时，首先根据题意，判断直线与圆是否有已知公共点；然后按一：有公共点，则作半径，证垂直；二：无公共点，则作垂直，证半径的操作步骤进行证明. 知识点三：切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径. 符号语言：（如图）∵直线l与⊙O相切于点A ∴ 3.如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O 于点C，连接BC，若∠P＝40°，则∠B= . 4.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点P，PA与PB相等吗？为什么？ 说明：经过切点的半径是常添辅助线.见切线，连半径，得垂直. （二）自学检测 1.已知，AB是⊙O的弦，OD⊥OB,交AB于点E，且AD=ED,判断直线AD和⊙O的位置关系，并说明理由. 2.AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：CD为⊙O的切线. 二、合作探究深化学 （一）检查建构 交流自主学习中的存在的问题和困惑. （二）深度探究 问题1：已知在Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，O是AC上的点，以O为圆心，OC为半径作⊙O． （1）如图（一），当OC＝2.5时，⊙O交AB于点D，求BD的长； （2）如图（二），当OC＝2.4时，AB与⊙O有怎样的位置关系？并证明你的结论． 问题2：已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF． （1）如图①所示，若AB为⊙O的直径，∠EAC=∠B ，那么EF是⊙O的切线吗？为什么？ （2）如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断． 三、检测总结巩固学 1.如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC＝55°，则∠ACD= . 2.如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC、BE.若AE＝6，OA＝5，则线段DC的长为 . 3.如图，半径为2的⊙P的圆心在函数y＝2x－1的图像上运动，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为 . 4．如图，AO是⊙O′的直径，AO＝4，点B是y轴正半轴的一点，其坐标为（0，4），若点D的坐标为（，0），连接BD，求证：直线BD是⊙O′的切线． 5.如图，∠PAQ是直角，半径为5的⊙O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B、C． （1）BT是否平分∠OBA？证明你的结论；（2）若已知AT＝4，试求AB的长． ... ...
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