2024年上海市高三数学竞赛试题（PDF版，含答案）

2024 年上海市高三数学竞赛参考答案与评分标准 【说明】解答本试卷不得使用计算器．解答请写在答题纸上． 一、填空题（本大题满分 60 分，前 4 小题每小题 7 分，后 4 小题每小题 8 分） 1. 9 . 2. 17 . 81 3. 22024 . 4. 58 . 5. 5 . 6. 8 . 27 7. 1 , 0 . 2e 8. 14. 二、解答题（本大题满分 60 分，每小题 15 分） 2 9. x在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 ： y2 1，A、B是椭圆 的左、 4 右顶点．点C 是椭圆 内（包括边界）的一个动点，若动点 P 使得 PB PC 0， 求 OP 的最大值． 解：设动点C x0 , y0 , P x, y ．因为 PB PC 0，所以 PB PC ．设 BC 的 中点为M ． 因为点 B 2, 0 , C x , y x 2 y，所以点M 0 , 00 0 ，于是 2 2 BC x 20 2 y20 ， 2 2 AC 2 OM 2 x0 2 y 0 2 2 2 2 x0 2 y0 ． 所以 OP OM MP OM 1 BC 2 1 AC BC ． ┄┄┄ 5 分 2 y P C M A O B x 1 记 AC BC a，则当 x0 0, y0 1时， a 5 ． ┄┄┄ 7 分 2 x2 y2 若 a 5 ，因为 AC BC 2a表示点C 在椭圆 2 2 1上． a a 4 ┄┄┄ 10 分 则 x2 2 2 20 y2 x0 x y0 y 2 0 0 1， 4 5 0 a2 a2 4 这与点C x0 , y0 在椭圆 内矛盾！ 故 a 5 ，即 OP 5 ，当点C 为C 0,1 时等号成立． 综上所述， OP 的最大值为 5 ． ┄┄┄ 15 分 10. 在平面直角坐标系 xOy 中，求所有的正整数 n n 3 ，使得正 n边形能内 x2 y2 接于椭圆 2 2 1 a b 0 （即正 n边形的所有顶点都在椭圆上）． a b 解：当n 3, 4时，正三角形、正方形能内接于椭圆． 如图，由椭圆的对称性可知，椭圆的内接正三角形、正方形存在． ┄┄┄ 4 分 y y 300 450O x O x 当 n 5时，不存在椭圆的内接正 n边形． 设椭圆的方程为 x2 y2 2 2 1 a b 0 ， ① a b 正 n边形 n 5 的外接圆方程为 x c 2 y d 2 r2 r 0 ． ② 若 d 0，由①，②消去 y 可得 2 x2 x c b2 1 2 r2 ， a 2 这是关于 x 的二次方程，它至多有两个实数根，再由 y b 1 x 得方程组①， a2 ②至多有 4 组实数解． ┄┄┄ 8 分 若 d 0，则方程②为 2dy r 2 (x c)2 y2 d 2 ， 2dy r 2 (x c)2 b2 1 x 2 所以 2 d 2， ③ a 2 2 两边平方 4d 2 y2 2 2 2 x 2 r (x c) b 1 2 d ， a 2 2 4d 2b2 1 x r2 (x c)2 b2 1 x 2 故 2 a2 a2 d ． ④ ④是关于 x的 4 次方程，至多 4 个实数解．对每个 x的实数解，再由③，即 1 2 y r 2 x (x c) 2 b2 1 2 d 2 2d a 可对应得到一个 y 的解，所以方程组①，②也至多有 4 组实数解． 综上，椭圆与正 n边形 n 5 的外接圆至多有 4 个公共点，也就是说正 n边 形 n 5 至少有一个顶点不在椭圆上． 故 n 5时，正 n边形不可能内接于椭圆． ┄┄┄ 15 分 11. 数列 an 满足： a1 a2 1, an 2 an 1 an n 1, 2, ，M 是大于 1 的正 整数．求证：在数列 a3, a4 , a5 , 中存在相邻的两项，它们除以M 的余数相等． 解：设an 除以M 所得的余数为 xn， n 1, 2, ．构造有序数对的序列： x3, x4 , x4 , x5 , , xn , xn 1 , ． （*） ┄┄┄ 3 分 由于 xi 0,1, 2, , M 1 ，故序列（*）中至多有M 2 个不同的项，根据抽屉 原理，（*）的前M 2 1项中必有相同的两项，设为 xk , xk 1 xl , xl 1 ，3 k l ． ┄┄┄ 5 分 因为 xk 1 ak 1 ak 1 ak xk 1 xk xl 1 xl al 1 al al 1 xl 1 mod M ， 所以 xk 1 xl 1，故 xk 1, xk xl 1, xl ． ┄┄┄ 10 分 继续上述过程，可以得到 xl k 1, xl k 2 x1, x2 1,1 ，即 al k 1 al k 2 mod M ． ┄┄┄ 13 分 注意到 a1 a2 1, a3 2，所以 x1, x2 x2 , x3 ，从而 l k 1 3．从而命题 得证． ┄┄┄ 15 分 12. 将正整数1, 2, ,100填入10 10 方格表中，每个小方格恰填一个数，要 求每行从左到右10个数依次递减，记第 i行的10个数之和为 Si i 1, 2, ,10 ．设 n 1, 2, ,10 满足：存在一种填法，使得 S1, S2 , , S10 均大于第 n列上 ... ...