【精品解析】【培优卷】2024年北师大版数学八（下）4.3 公式法 同步练习

【培优卷】2024年北师大版数学八（下）4.3 公式法 同步练习 一、选择题 1．已知实数（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，则代数式x2﹣x+1的值为（　　） A．﹣1 B．7 C．﹣1或7 D．以上全不正确 【答案】B 【知识点】因式分解的应用 【解析】【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0， ∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）=0， ∴x2﹣x+2=0或x2﹣x﹣6=0， ∴x2﹣x=﹣2或x2﹣x=6． 当x2﹣x=﹣2时， x2﹣x+2=0， b2﹣4ac=1﹣4×1×2=﹣7＜0， ∴此方程无实数解． 当x2﹣x=6时， x2﹣x+1=7 故答案为：B． 【分析】将看作整体利用式子相乘法进行因式分解，从而可求得的值，即可求得所给代数式的值. 2．（2016·贺州）n是整数，式子 [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（　　） A．是0 B．总是奇数 C．总是偶数 D．可能是奇数也可能是偶数 【答案】C 【知识点】因式分解的应用 【解析】【解答】解：当n是偶数时， [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）= [1﹣1]（n2﹣1）=0， 当n是奇数时， [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）= ×（1+1）（n+1）（n﹣1）= ， 设n=2k﹣1（k为整数）， 则 = =k（k﹣1）， ∵0或k（k﹣1）（k为整数）都是偶数， 故选C． 【分析】根据题意，可以利用分类讨论的数学思想探索式子 [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果等于什么，从而可以得到哪个选项是正确的．本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题． 3．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中，属于“幸福数”的是（　　） A．205 B．250 C．502 D．520 【答案】D 【知识点】因式分解﹣公式法 【解析】【解答】解：设“幸福数”为（2n+1）2-（2n-1）2， 则（2n+1）2-（2n-1）2=4n2+4n+1-4n2+4n-1=8n， 故“幸福数”是8的倍数， 故答案为：D. 【分析】两个连续的奇数，我们可以设为（2n+1）和（2n-1），根据平方差公式列式计算可知幸福数是8的倍数，从而得出答案. 4．（2023九上·苍南模拟）已知n(n≥8)个正实数，，···，满足=，其中q是不为1的正数.则+，与+的大小关系为（　　） A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定 【答案】A 【知识点】探索数与式的规律；因式分解﹣分组分解法 【解析】【解答】解：∵ = ∴a8=a1q7，a4=a1q3，a5=a1q4 ∴a1+a9-(a4+a5)=a1+a1q7-(a1q3+a1q4)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1+q3q4-q3-q4) =a1(q3-1)(q4-1) ∵a1为正实数 当q>1时，q3>1，q4>1，a1+a9-(a4+a5)=a1(q3-1)(q4-1)>0； 当q<1时，q3<1，q4<1，a1+a9-(a4+a5)=a1(q3-1)(q4-1)>0； ∴a1+a9>a4+a5 故答案为：A. 【分析】根据=，得a8=a1q7，a4=a1q3，a5=a1q4；作差法是比较大小常用的方法，要比较a1+a9与a4+a5的大小，可观察两者差的符号，结果为正则前者大，结果为负则后者大；过程中的1+q3q4-q3-q4=(q3-1)(q4-1)，采用了分组分解因式的方法；涉及到q3-1、q4-1的符号问题，需要对q的值进行分类讨论，当q>1或q<1时，作差的结果均大于零，故a1+a9>a4+a5. 5．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则它的形状为 （　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【知识点】因式分解﹣公式法；等腰三角形的判定；勾股定理 【解析】【解答】∵a2c2-b2c2=a4-b4， ∴（a2c2-b2c2)-（a4-b4)=0， ∴c2（a+b)（a-b)-（a+b)（a-b)（a2+b2)=0， ∴（a+b)（a-b)（c2-a2-b2)=0， ∵a+b≠0， ∴a-b=0或c2-a2-b2=0，所以a=b或c2=a2+b2即它是等腰三角形或直角三角形． 故选D． 【分析】把式子a2c2-b2c2=a4-b4变形化简后判定则可．如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形． 6．（2022八下·清城期中）已知a，b，c分别 ... ...