江苏省东海高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷（PDF版，含答案）

高二第二学期月考数学答案 一、选择题 1-8CBCA,ABCB 9.ABC 10.AD 11.BCD 1 二、填空题 11.5 或 7 12.35 13. 2675 三、解答题 15.（1）因为 PA⊥平面 ABCD，BC 平面 ABCD，所以PA BC． 因为四边形 ABCD是正方形，所以 AB BC ，又 AB PA A，AB，PA 平面 PAB，所以 BC⊥平面 PAB. 又 AE 平面 PAB，所以 AE BC， 在 PAB 中，PA AB，又点 E是棱 PB的中点，所以 AE PB ， 又 BC PB B，BC，PB 平面 PBC，所以 AE⊥平面 PBC. 又 PC 平面 PBC，所以 AE PC . （2）因为 PA⊥平面 ABCD，AB，AD 平面 ABCD，所以PA AB ，PA AD， 又四边形 ABCD是正方形，所以 AB AD． 以 A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为 x轴， y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设PA 2，所以 A 0,0,0 ，F 2,1,0 ，E 1,0,1 ，D 0,2,0 ，C 2,2,0 ． 设平面 AEF的法向量n x, y, z ，又 AF 2,1,0 ， AE 1,0,1 ， n AF 2x y 0 所以 . n AE x z 0 令 x 1，解得 y= 2， z 1，所以平面 AEF的一个法向量n 1, 2, 1 ． 设平面 ECD的法向量m a,b,c ，又DC 2,0,0 ，DE 1, 2,1 ， m DC 2a 0 所以 . m DE a 2b c 0 令b 1，解得a 0， c 2，所以平面 ECD的一个法向量m 0,1,2 ， 设平面 AEF与平面 ECD所成二面角的平面角为 θ， n m 4 2 30 所以 cos cos n,m ， n m 1 4 1 1 4 15 105 所以 sin 1 cos2 ， 15 105 即平面 AEF与平面 ECD所成二面角的正弦值为 ． 15 a a 1 16.（1）解：因为数列 an 的前 n 项和为 S ，且a 1, S n n 1 n ，即4Sn anan 1 11 n ， 4 当n 2时，可得4Sn 1 an 1an 1，两式相减得4an an an 1 an 1 ，因为an 0 ，故 an 1 an 1 4，所以a1,a3, ,a2n 1, 及a2 ,a4 , ,a2n , 均为公差为 4 的等差数列： a1a2 1当 n 1时，由a1 1及 S1 ，解得a2 3， 4 所以a2n 1 1 4 n 1 2 2n 1 1， a2n 3 4 n 1 2 2n 1， 所以数列 an 的通项公式为an 2n 1. (2n 1)(2n 1) 1 （2）解：由（1）知an 2n 1，可得 Sn n 2 ， 4 2 * n 因为对于任意n N ,2 n Sn 成立，所以 n 恒成立， 2 n2 (n 1)2 n2 n2 2n 1 设bn ，则bn 1 bn ， n 2n 1 2n 2n 12 当1 2 n 1 2 ，即n 1,2时，bn 1 bn 0,bn bn 1 当 n 1 2 ，即n 3,n N * 时，bn 1 bn 0,bn bn 1 9 9 所以b1 b2 b3 b4 b5 ，故 bn b3 ，所以 ， max 8 8 9 即实数 的取值范围为 , . 8 17.(1)因为直线 AB 不垂直于 y轴，设直线 AB 的方程为 x my t ， (t 0) ， x my t A(x 21, y1), B(x2 , y2 )，由 x y2 消去 得， y 4my 4t 0， 4x 所以 16m2 16t 0， y1 y2 4m， y1y2 4t ， (y1y2 ) 2 ( 4t)2 由OA OB，得OA OB x x y y y y 4t t 2 4t 0， 1 2 1 2 1 2 16 16 解得 t 4，满足 0，所以直线 AB 方程为 x my 4， 令 y 0 得 x 4，即 P的坐标 (4,0) . (2)由题意知抛物线的焦点为 (1,0) ，因为直线 AB 不垂直于 y轴，设直线 AB 的方程为 x ny 1 x ny 1，点 A(x 23, y3), B(x4 , y4 ) ，由 2 消去 x得， y 4ny 4 0 ， y 4x 所以 16n2 16 0 ， y3 y4 4n， y3 y4 4， 所以 AB 1 n2 y 2 2 2 1 ，解得 n 2 ， 3 y4 1 n 16n 16 4(1 n ) 6 2 1 6 点O到直线 AB 的距离为d ， 1 n2 3 1 1 6 所以 S AB d 6 6 ,故 OAB的面积为OAB 6 . 2 2 3 f x x318. (1)函数 3x2 a的定义域为R ， f x 3x2 6x 3x x 2 ， 令 f x 0，可得 x 0或 2 ，列表如下： x ,0 0 0,2 2 2, f x 0 0 f x 递增 极大值 递减 极小值 递增 故函数 f x 的极大值为 f 0 a ，极小值为 f 2 a 4 . 1 (2)对于 x 1,3 ， x , e ，都有 f x1 g x2 ，则 f x1 g x1 2 2 . min max e 由（1）可知，函数 f x 在 1,2 上单调递减，在 2,3 上单调递增， 故当 x 1,3 时， f x f 2 a 4， min 1 1 因为 g x x ln x ，且 x ,e ，则 g x 1 ln x 0在 x ,e 上恒成立， e e 1 故函数 g x 在 ,e 上单调递增，故 g x g ... ...