专题05 统计与概率 1.分层随机抽样的平均数 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为和，抽取的样本量分别为和.我们用表示第1层各个个体的变量值，用表示第1层样本的各个个体的变量值；用表示第2层各个个体的变量值，用表示第2层样本的各个个体的变量值，则第1层的总体平均数和样本平均数分别为 . 第2层的总体平均数和样本平均数分别为 . 总体平均数和样本平均数分别为 . 由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用. 2.方差与标准差 一组数据，，，，用表示这组数据的平均数， 则这组数据的方差：； 标准差： 3.相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立（mutually independent），简称为独立． 性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立 性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立 则：，， 4.概率公式 （1）事件与相互独立等价于 （2）事件与互斥，则 （3）概率的一般加法公式 设，是一个随机试验中的两个事件，有 （4）如果事件与事件互为对立事件，那么，； 题型一 分层抽样的样本平均数与总体平均数 例题1．（2023下·全国·高一校联考开学考试） 1．某单位有男职工30人，女职工70人，其中男职工平均年龄为40岁，方差为4，女职工平均年龄为35岁，方差是6，则该单位全体职工的方差为 . 例题2．（2023·吉林·统考一模） 2．吉林市一中学有男生900人，女生600人．在“书香校园”活动中，为了解全校学生的读书时间，按性别比例分层随机抽样的方法抽取100名学生，其中男生、女生每天读书时间的平均值分别为60分钟和80分钟，方差分别为10和15．结合上述数据估计该校学生每天读书时间的平均值为 分钟，方差为 ． 例题3．（2023下·浙江湖州·高一统考期末） 3．已知采用分层抽样得到的高三男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172cm，方差为120，女生样本平均数165cm，方差为120，则总体样本方差是 . 练习题 （2023上·湖南张家界·高三慈利县第一中学校考阶段练习） 4．某校高三 （1）班 （45人）和高三 （2）班 （30人）进行比赛，按照分层抽样的方法从两个班共抽取10名同学，相关统计情况如下：高三 （1）班答对题目的平均数为 、方差为；高三 （2）班答对题目的平均数为、 方差为，则这10人答对题目的方差为 ； （2023上·高一单元测试） 5．针对某市A，B两个小区进行居民每月用电量调查，拟采用分层随机抽样的方法，抽取A小区1号楼12户每月用电量数据，其平均数和方差分别为198.5和10.22；2号楼15户每月用电量数据，其平均数和方差分别为210.0和20.22；3号楼13户每月用电量数据，其平均数和方差分别为168.0和28.56.抽取B小区1号楼10户每月用电量数据，其平均数和方差分别为170.6和27.15；2号楼20户每月用电量数据，其平均数和方差分别为200.2和14.55；3号楼20户每月用电量数据，其平均数和方差分别为180.5和19.56，可以推测A，B两个小区每月用电量更稳定的是 小区． （2023下·吉林·高一吉林一中校考阶段练习） 6．甲、乙两位射击爱好者，各射击10次，甲的环数从小到大排列为4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的环数小到大排列为2，5，6，6，7，7，7，8，9，10.若甲的方差为2.25，乙的方差为4.41，则这20个数据的方差为 . （2022上·安徽·高二校联考阶段练习） 7．为了调查公司员工的健康状况，某公司男女员工比例是，用分层随机抽样的方法抽取样本，统计样本数据如下：男员工的平均体重为，标准差为；女员工的平均体重为，标准差为.则由此估计该公司员工的平均体重是 ，方差是 . 题型二 样本数字特征 例题1．（2024·全国·高三专题练习） 8．已知一组数 ... ...
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