数学参考答案 BABDACDB AD BC ABC ACD 13. 1 14. -4 15. 16. 17.【详解】（1）由题意，解得； （2）由题意． 18.【详解】（1）因为与的夹角为， 所以， 所以. （2）因为， 所以， 化为，解得. 19. 解：(1)在中， ，根据余弦定理得：. .所以小岛A到小岛 C的最短距离是海里. (2)根据正弦定理得： 解得 在中，为锐角 . 由得游船应该沿北偏东的方向航行 答:小岛A到小岛 C的最短距离是海里;游船应该沿北偏东的方向航行. 20. （1） ，故； (2)因为，向左平移个单位长度， 得到， 故要使，需满足，解得，故的解集为 21（1）由已知中，即， 故，由正弦定理可得， 故直角三角形，即. （2）由（1），所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，由得： ，整理得， 则 . 22. （1）因为 ， 所以，函数存在相伴向量，， 所以，与共线的单位向量为或 . （2）的“相伴函数”， 因为在处取得最大值， 所以，当，即时，有最大值， 所以，， 所以， 因为，， 所以， 所以， 令，则， 因为均为上的单调递减函数， 所以在上单调递减， 所以， 所以，， 所以，的取值范围为. 试卷第1页，共3页2023-2024 学年高一年级下学期第一次月考试卷 数学 满分：150 分 时量：120 分钟 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每个小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求．） 1. ABC 的三内角 A，B，C所对边分别为 a，b，c ，若 a2 b2 c2 ab，则角C的大小是 （ ）． π π π 2π A. B. C. D. 6 3 2 3 2 * . 已知 a,b R， i是虚数单位，若 a i 2 bi，则 (a bi)2 （ ） A. 3 4i B. 3+4i C. 5 4i D. 5 4i 3．已知扇形的周长为8cm，圆心角为 2rad，则此扇形的面积是（ ） A． 2cm2 B． 4cm2 C．6cm2 D．8cm2 4．在 ABC中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，且 a 1，b 3， A ，则 B 6 5 2 A． B． C． 或 D． 或 6 3 6 6 3 3 cos 5 * 2 . 化简 sin 2 cos 2 sin 5 2 A. sin2 B. sin C. sin2 D. sin 6 * . 设 ABC的内角 A,B,C所对的边分别是 a,b,c，若bcosC ccosB asin A，那么 ABC一 定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 r 7. 已知向量 a 1,2 ，b 1, 3 ，则下列命题中错误的是（ ） r r r A. a b a B. 2 5 5与向量a垂直的一个单位向量是 ( , )5 5 试卷第 1页 共 4页 C. a b 5 D. 10 向量 a在向量b上的投影向量是 b 2 8. 在 ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，b ccosA，S ABC 12，点 P为线段 AB上一 点，CP x CA CB y CA CB ，则 xy的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有 多项符合要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．） 9 * . 已知复数 z0 2 i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为 P0，复数 z满足 z 3，下列结论 正确的是（ ） A. P0点的坐标为（2，1） B. 复数 z0 的共轭复数对应的点与点 P0关于虚轴对称 C. 复数 z对应的点 P在一条直线上 D. P0与复数 z对应的点 P间的距离的最小值为3 5 10 * . 3计算下列各式，结果为 的是（ ） 2 A. sin15 cos15 B. cos215 sin215 C. tan 30 D. 1 tan15 1 tan2 30 1 tan15 11. 已知函数 f (x) sin x 3 cos x，则（ ） A. f (x)的最大值为 2 π B. 函数 y f (x)的图象关于点 , 0 对称 3 5π C. 直线 x 是函数 y f (x)图象的一条对称轴 6 π D. 函数 y f (x) 在区间 , 0 上单调递 2 12. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对 应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的 logo 很相似，故形象地 试卷第 2页 共 4页 称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知 O是 ABC内一点， BOC ， AOC ， AOB的面积分别 为 SA， SB， SC， ... ...
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