专题01 空间向量与立体几何（3） 【培优满分一】空间角的范围 （2020下·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期末） 【典例精讲】如图，在中，，斜边，半圆的圆心在边上，且与相切，现将绕旋转一周得到一个几何体，点为圆锥底面圆周上一点，且． （1）求球的半径； （2）求点到平面的距离； （3）设是圆锥的侧面与球的交线上一点，求与平面所成角正弦值的范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）在直角三角形中，由特殊角及边长即可得出答案； （2）利用等体积转化即可； （3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与向量用向量法. 【详解】由，斜边，， 设切点为，连接，，又， ，， 所以圆锥中球的半径就是半圆的半径，即为. （2）在三棱锥中，设到平面的距离为 在中，， 在等腰三角形中, ，取中点，连，所以 所以 ，由（1）知， 由于，所以 即 . （3） 如图建立空间直接坐标系，则，， ，设在面上的射影与的正方向的夹角为，所以，， ，，， 设平面的法向量， 由，∴， 设与平面所成角为, 则 【点睛】本题主要考查空间几何体体积的求法、用空间向量解决线面角的问题. 【变式训练】 （2023上·吉林长春·高二长春市第二中学校考阶段练习） 1．在梯形中，，，四边形为矩形，平面平面，． (1)求证：平面； (2)若点在线段上运动，设平面与平面的夹角为，试求的范围． （2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测） 2．如图所示，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，平面，，是棱上的动点. (1)当是棱的中点时，求证：平面； (2)若，，求点到平面距离的范围. （2023上·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末） 3．如图所示，在正方形中，将沿折起至. (1)求证：； (2)记二面角的大小为. 当时，求异面直线和所成角的余弦值的范围. （2022上·黑龙江齐齐哈尔·高二校联考期中） 4．如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，为的中点，为线段上的点. (1)若为线段的中点，求证：//平面； (2)当时，求平面与平面夹角的余弦值的范围. （2023下·上海黄浦·高二上海市大同中学校考阶段练习） 5．如图，已知长方体，，，直线BD与平面所成角为30°，AE垂直BD于E． (1)若F为棱的动点，试确定F的位置，使得平面，并说明理由； (2)若F为棱的中点，求点A到平面的距离； (3)若F为棱上的动点（除端点 外），求二面角的平面角的范围． 【培优满分二】空间角的折叠 （2021上·安徽合肥·高二校联考期末） 【典例精讲】如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2. （1）求证：. （2）求直线和平面所成角的正弦值. （3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，. 【分析】（1）推导出，，从而，进而，由此得到平面，从而能证明； （2）取中点，连接，，再由，，建立空间直角坐标系，利用法向量能求出直线和平面所成角的正弦值； （3）线段上存在点适合题意，设，其中，利用向量法能求出线段上存在点适合题意，且. 【详解】（1）因为在中，，分别为，的中点， 所以，. 所以，又为的中点，所以. 因为平面平面，且平面， 所以平面， 所以. （2）取的中点，连接，所以. 由（1）得，. 如图建立空间直角坐标系. 由题意得，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为. 则 即 令，则，，所以. 设直线和平面所成的角为， 则. 故所求角的正弦值为. （3）线段上存在点适合题意. 设，其中. 设，则有， 所以，，，从而， 所以，又， 所以 令， 整理得.解得. 所以线段上存在点适合题意，且. 【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推 ... ...
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