专题02一元二次函数、方程和不等式 知识梳理（含解析） 人教A版（2019）高一数学期末复习

专题02 一元二次函数、方程和不等式1 -期末复习重难培优与单元检测（人教A版2019） 专题02 一元二次函数、方程和不等式 1、不等关系与不等式 (1)在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，常用不等式来研究含有不等关系的问题. (2)用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示不等关系.“a≠b”应包含“a>b”或“ab a－b>0 a＝b a－b＝0 ab bb，b>c a>c 不可逆 3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0 ac>bc a>b，c<0 acb，c>d a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正 5、基本不等式 (1)基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立. (2)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. (3)“当且仅当”的含义：①当a＝b时取等号，即a＝b ＝；②仅当a＝b时取等号，即＝ a＝b. (4)基本不等式可变形为a＋b≥2，ab≤. 6、最值问题 已知x，y都为正数，则： (1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值S2，简记为：积定和最小，和定积最大. 7、一元二次不等式 (1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. (2)一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. (3)一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点. 8、二次函数与一元二次不等式(方程)的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x10(a>0)的解集 {x|xx2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x10(a≠0)恒成立 a>0且Δ<0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是a<0且Δ<0. (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 【重点保分一】作差（商）比较大小 【典例精讲】 （多选）（2023上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）对于实数，，，下列选项正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 【变式训练】 一、单选题 （2023上·山东青岛·高一青岛三十九中校考期中） 1．下列命题为假命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 （2020上·江苏南通·高一江苏省南通中学校考开学考试） 2．同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸 妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升，妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸 妈妈谁更合算呢？（ ） A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 二、多选题 （2023上·江苏淮安·高三金湖中学校联考期中） 3．设，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题 （2022上·辽宁沈阳·高一校联考期中） 4． ... ...