专题 3 三角形中布洛卡点问题 【2024届南充一诊】．如图，在中，，为内一点，，则_____． 根据题意先判定，得，角度一、利用正弦定理解；角度二，利用正弦定理解，角度三、利用正弦定理解和. 由题可知，，， ， 角度一、在中，由， 即，所以． 感悟反思：在中，利用正弦定理，由求解． 角度二、在中，， 所以， 即，所以． 感悟反思：在中，利用正弦定理求解． 角度三、在中， ① 在中，，所以， 即 ② 由①②得： 所以，所以． 感悟反思：在和中，利用正弦定理求解． 1．如图，在中，，，，为内的一点，且，，则 ． 根据条件先得，再利用三角形相似的判定与性质计算即可. 易得，且， 而且相似比为， 又，所以． 感悟反思：构造相似三角形，利用相似比求解． 2．在中，已知为中内一点，满足，则的长为 ． 合理构造圆，得到是等腰直角三角形，用求解． 解法六 构造圆 做的外接圆，延长交外接圆于，交与，延长，过点作交的延长线于点，易得， 又为直径，， 所以是等腰直角三角形 又，易得， 所以， 即． 3．如图，在直角三角形中，，，，为内一点，且，设，若，则 ；若，则 . 根据布洛卡点的性质直接计算即可. 若内一点满足（或），则点为的布洛卡点，显然许多三角形都有两个布洛卡点，布洛卡点角只有一个.且有如下性质： 由布洛卡点的性质： ， 即，即 或用 所以 所以，即． 或用， 即，所以． （2023上·河南南阳·高三统考期中） 4．已知，，分别为的三个内角的对边，若点在的内部，且满足，则称为的布洛卡（Brocard）点，称为布洛卡角.布洛卡角满足：（注：）.则（ ） A． B． C． D． （2023·湖北·校联考三模） 5．内一点O，满足，则点O称为三角形的布洛卡点．王聪同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确结论，比如，请你和他一起解决如下问题： (1)若a，b，c分别是A，B，C的对边，，证明：； (2)在（1）的条件下，若的周长为4，试把表示为a的函数，并求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 参考答案： 1．## 【分析】设，根据已知条件得到，在中利用余弦定理得到关系式，求解即可. 【详解】设，为内的一点，，， ，，，， 在中，， 即，整理得， ，， ，， 两边同时除以得，， 即，，即. 故答案为：. 2． 【分析】由相似三角形的性质即可求解. 【详解】过作，可得， 易证，且， ， 故. 故答案为：. 3． 【分析】由已知条件得到为等腰三角形并求得；由相似，得到，根据正弦定理利用三角函数公式可得到答案. 【详解】因为，，为等腰三角形，所以； 又，且， 从而相似，且相似比为， 由正弦定理得，即， 所以， 即，故. 故答案为：①；②. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理、相似比解三角形，运算要正确. 4．B 【分析】结合图象,求得，,分别在，，中利用正弦定理可求得，，，三数相加化简即可. 【详解】如图所示， , 故, 同理，, 在中，由正弦定理得： , 即, 所以， 在中同理可得： , 在中同理可得： , 所以 ， 故选：B. 5．(1)证明见解析 (2)，取值范围为 【分析】（1）应用正弦定理边角互化即可证明； （2）先根据余弦定理边角互化，再应用向量的数量积公式结合等比数列计算可得. 【详解】（1）设， 在和中，由正弦定理得 又，， ， ，又， ，即． （2） ，即， 又成等比数列，设（公比）（）， ，解得：，又，得， 由且，则，故在上递增， 所以在上为减函数，易知， 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 ... ...
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