专题5 曲线轨迹与交点问题 【山东省潍坊市2024届高三一模考试数学试题】 已知平面直角坐标系xOy中，直线，点P为平面内一动点，过P作交于D，作交于E，得到的平行四边形ODPE面积为1，记点P的轨迹为曲线．若与圆有四个交点，则实数t的取值范围是_____． 设点，由斜率关系及三角形面积的坐标表示计算得点P的轨迹方程为．与圆方程联立，计算即可. 解：由已知，设点，则由得， 由的面积为1得，， ，， 即，点P的轨迹方程为． 由（1）得； 由（2）得． 由题意，要求方程组（1）与（2）总共恰有一组正实数解，∴，t的取值范围为． （2024上·江苏常州·高三统考期末） 1．已知圆的直径长为8，与相离的直线垂直于直线，垂足为，且，圆上的两点，到的距离分别为，，且．若，，则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．已知曲线与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 设D、E坐标表示P点坐标，利用三角形面积公式及平面向量数量积的坐标表示先求得，及，再消元转化得P的轨迹方程，由双曲线与圆的性质数形结合计算即可. 设，， 设， 又∵， 当为负时，即， ①，② ①×2＋②：∴③ ①×2－②：④ ∴③×④：，∴， 同理当为正时，∴，∴ （2023上·福建泉州·高三福建省泉州市培元中学校考阶段练习） 3．已知为坐标原点，为直线上的动点，的平分线与直线交于点，记点的轨迹为曲线．求曲线的方程. 设P点坐标，利用点斜式联立直线方程得D坐标，再根据三角形面积公式得P的轨迹方程，由双曲线与圆的性质数形结合计算即可. 设点，则直线：， 由得 即点 ∴， 即，点P的轨迹方程为． 由题意结合图形知，t的取值范围为． （2023·广东广州·华南师大附中模拟预测） 4．已知在平面直角坐标系中，：，：，平面内有一动点，过作交于，交于，平行四边形面积恒为1.求点的轨迹方程并说明它是什么图形； 设P点坐标，利用点到直线的距离公式，求得两直线交点坐标D，根据三角形面积公式得P的轨迹方程，由双曲线与圆的性质数形结合计算即可. 设点，则点P到的距离为， 直线PD方程为，联立，解得 所以，， 所以，所以点P的轨迹为两个双曲线， 若圆有四个交点，则． （2024·山西临汾·统考一模） 5．已知是一个动点，与直线垂直，垂足A位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限.若四边形（为原点）的面积为.求动点的轨迹的方程.. 6．已知椭圆：，是轴正半轴上一动点，若以为圆心任意长为半径的圆与椭圆至多有两个交点，则的取值范围是 . （2023上·江苏淮安·高二统考期中） 7．法国天文学家乔凡尼·多美尼科·卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称之为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，两个定点，曲线是到两个定点的距离之积为的点的轨迹，以下结论正确的有（ ） A．曲线关于轴对称 B．曲线可能过坐标原点 C．为曲线上任意一点，当时，点纵坐标的取值范围为 D．若曲线与椭圆有公共点，则 （2023上·江西南昌·高二南昌县莲塘第二中学校考阶段练习） 8．已知曲线（为常数），下列命题正确的是（ ） A．曲线为中心对称图形 B．当时，曲线围成的区域的面积为 C．当时，曲线与直线有交点 D．当时，曲线与方程所表示的区域无公共点 （2024上·上海·高二上海市行知中学校考期末） 9．如图，在矩形中，，，分别为边，的中点，，分别为线段（不含端点）和上的动点，满足，直线，的交点为，已知点的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的渐近线方程为 . （2023上·北京丰台·高二期末） 10．关于曲线，下列结论正确的有 ①．曲线C关于原点对称 ②．曲线C与直线有四个交点 ③．曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于 ④．曲线C不是封闭图形，且它与圆无公共点 （2023上·北京· ... ...
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