2024年高考数学复习 专题2用空间向量解决立体几何问题 每日一题之一题多解（含解析）

专题2 用空间向量解决立体几何问题 【2023上 浙汇台州 高二校考阶段练习】如图，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，分别是上的动点，且，则的最小值是_____． 角度一、以为基底，利用空间向量的数量积、模长公式及二次函数的性质求最值即可；角度二、以为基底，利用空间向量的数量积、模长公式及二次函数的性质求最值即可；角度三、作于，于，以为基底，利用空间向量的数量积、模长公式及二次函数的性质求最值即可； 角度一、 基底Ⅰ ，设． ， ， ， 在时取得最小值，故． 角度二、 基底Ⅱ： 设， ， ， 在时取得最小值，故． 感悟反思： 法二与法一几乎一样，都是选择基底对目标向量进行拆分，法二选择的基底的三个向量两两夹角已知，更加简洁. 角度三、作垂线： 在平面内过作于， 在平面内过作于， 设， ， ， 在时取得最小值，故． 感悟反思： 二面角条件非常适合在面内作两面交线的垂线． （2024上·上海松江·高二上海市松江二中校考期末） 1．正方形的边长为12，其内有两点、，点到边、的距离分别为3，2，点到边、的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（ ） A． B． C． D． （2024下·江西新余·高二新余市第一中学校考开学考试） 2．正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，，则的最小值为（ ） A．24 B．25 C．48 D．50 如图所示建空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示结合二次函数的性质计算即可. 建系如图， 设， ， ， 在时取得最小值，故． （2024·江苏南京·高三金陵中学假期作业） 3．正三棱柱中，，，O为的中点，M为棱上的动点，N为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为（ ） A． B． C． D． （2023上·全国·高二专题练习） 4．在平行四边形中，，，，分别为直线上的动点，记两点之间的最小距离为，将沿折叠，直到三棱锥的体积最大时，不再继续折叠.在折叠过程中，的最小值为 . 5．已知平面，，求二面角的大小． 6．在正四面体中，，，则异面直线和所成角的余弦值为 ． （2024上·江西·高三统考期末） 7．已知圆柱的底面半径为1，高为2，，分别为上、下底面圆的直径，四面体的体积为，则直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． （2024·全国·高一专题练习） 8．柏拉图多面体是因柏拉图及其追陮者对正多面体的研究而得名.如图是棱长均为的柏拉图多面体，点，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． （2024·全国·高二假期作业） 9．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． （2024·全国·高二专题练习） 10．在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为的中点，N在侧面上（包含边界），若，则下列正确的是（ ） A．若，则∥平面 B．若，则 C．当最小时， D．当最大时， （2024·广东深圳·深圳中学校考一模） 11．已知是正四面体的外接球的一条直径，点在正四面体表面上运动，正四面体的棱长是2，则的取值范围为 ． （2024上·江西吉安·高二江西省峡江中学校考期末） 12．正四棱台是的中点，在直线上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段的长度为 ． （2024·全国·高二假期作业） 13．如图，某正方体的顶点在平面内，三条棱，，都在平面的同侧.若顶点，，到平面的距离分别为，，，则该正方体的表面积为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 参考答案： 1．C 【分析】 过点分别作底面的平行圆，利用空间向量数量积的运算律求解即得. 【详解】过点作平行于底面的截面圆，过点作平行于底 ... ...