专题7 平面几何中圆的包含问题 【2024年湖北省七市州高三年级3月联合统一调研测试T8】 能被3个半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是（ ） A. B. C. D. 根据已知条件分析列出半径的表达式，结合导数与最值的关系求解答案即可. 要求出被完全覆盖的最大的圆的半径，由圆的对称性知只需考虑三个圆的圆心构成等边三角形的情况，设三个半径为1的圆的圆心分别为，设被覆盖的圆的圆心为，如图所示，设圆与交于交于交圆于， 设， ，又， 所以圆的最大半径为，下求的最大值，设 ， 所以在为增函数，在为减函数， ， 即被完全覆盖的最大的圆的半径为. 此时，即圆 圆 圆中的任一圆均经过另外两圆的圆心. 1．如图，古建筑的主要受力构件梁椽 楼板 柱子都是木头，由于构件的拼接需要，梁通常做成矩形.圆形的木头加工成矩形断面，梁是主要的水平受力构件，作为水平或斜向受弯构件，除了材料本身的特性，截面抵抗矩是唯一的标准.矩形截面抵抗，（其中为垂直于弯矩作用方向的长度），木材本身的圆形直径是确定的，则截面抵抗矩最大时为（ ） A． B． C． D． 根据已知条件分析列出半径的表达式，根据三角函数的知识将角作为变量，结合辅助角公式和三角函数最值知识求解答案即可. 同上，设， 即当时，的最大值为，即被完全覆盖的最大的圆的半径为. 此时，即圆 圆 圆中的任一圆均经过另外两圆的圆心. 2．函数的最大值是（ ） A． B． C． D．4 3．一根长为L的材料（材料粗细忽略不计）欲水平通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽. (1)设，试将L表示为的函数，并写出的取值范围； (2)求能够通过这个直角走廊的材料的最大长度（即求L的最小值）. 根据已知条件分析列出半径的表达式，将问题转化为曲线，即上的点，与直线上相应的点的纵向距离最大，根据图形进行分析即可. 依题意，只需考虑三个圆的圆心恰好构成正三角形的情形 记三个半径为1的圆的圆心为，被覆盖的圆的圆心为O． 如图所示，A为圆O上一点， 设，则， ，其中， 其中DA的最大值可视为曲线，即上的点， 与直线上相应的点的纵向距离最大． 平移直线到与曲线相切时，OA取得最大值． 由得，即， ，因此OA的最大值为，选C． 4．函数的值域为 . 根据已知条件画出图形进行分析最值情况，结合正弦定理的知识直接计算求解即可. 如图，覆盖最大圆为△ABC的外接圆，当△ABC为等边三角形时，△ABC外接圆最大，AB为圆的弦， 当，即AB是直径时最长，所以， 故最大圆半径为 5．如图是某人设计的产品图纸，已知四边形的三个顶点在某圆上，且，，则该圆的面积为（ ） A． B． C． D． 根据已知条件分析列出半径的表达式，结合柯西不等式求解答案即可. 由对称性知，当完全覆盖的圆是正三角形的中心时，圆的半径最大． 设，则， 则，则 当且仅当时取等，即时 故选C． 6．柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 7．已知空间向量，，且，则的最小值为（ ） A． B． C．2 D．4 8．已知函数，若恒成立，则的最小值为 ． 根据已知条件分析列出半径的表达式，结合减号柯西不等式求解答案即可. 依题意，只需考虑三个圆的圆心恰好构成正三角形的情形 记三个半径为1的圆的圆心为，被覆盖的圆的圆心为O． 如图所示 设，则， ， 其中， 当且仅当，即时，等号成立 （注：若，则，当且仅当时，等号成立） 因此，选C． 9．为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主 ... ...
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