2024年高考数学复习第二章函数的概念与性质专题1有关零点个数的含参问题 每日一题之一题多解（含解析）

专题1 有关零点个数的含参问题 【人教版A选择性必修二P104 T19】已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【方法名称】分类讨论 【思路分析】通过对含参函数的单调性分析，结合零点存在性定理，将零点的个数转化为极值点的符号问题，进一步通过解不等式求得参数范围. （1）的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. （2）法一：（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点. （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 法二：①若时，由（1）知，最多一个零点 ②若时，， 由（1）知在单调递减，在单调递增， 当时，，，此时 当时，，，且的增速远远大于和，故此时 要使有2个零点，则需的最小值小于0即 即 令，则 设，则，∴在 又，∴当时成立 即且得 【举一反三】 1．已知函数，，为函数的导函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若方程在上有实根，求的取值范围. 2．已知函数（其中），． (1)证明：函数在区间上单调递增； (2)判断方程在R上的实根个数． 【方法名称】参变分离+数形结合 【思路分析】将零点问题转化为水平常函数与另一个不含参函数的交点问题，通过分析观察函数图象得到答案. 法一：有两个零点有两个根， 令， 令，，∴在 又，∴当，， 当，， ∴，∴ 法二：设，则， 于是． 令， 则． 令，则，在上单调递增． 而，所以当时，，； 当，，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 又，当时，，当时，， 如图，若有两个零点，则直线与的图象有两个交点，所以的取值范围是． 法三：设，则， 于是． 令，．则有两个零点等价于与的图象有两个交点． 因为．由可得．由可得，所以在上单调递增，在上单调递减． ，当时，，的图象是鈄率为且过定点的直线，如图． 当与的图象相切时，设切点为，则有 消去和，可得， 即，从而． 令，显然是增函数．且，于是，此时切点为，斜率． 当与的图象有两个交点时，，所以的取值范围是． 法四：． 令，，． 则有两个零点与的图象有两个不同的交点． 因为，所以两个函数的图象有一个交点． 令，则， 由可得，由可得，于是在上单调递减，在上单调递增． 而，所以，因此与相切于点，除切点外，的图象总在图象的上方，如图． 由（1）可知，． 当时，将图象上每一点的横坐标固定不动，纵坐标变为原来的倍，就得到了的图象，此时与的图象没有交点． 当时，的图象就是的图象，此时与的图象只有1个交点. 当时，将图象上每一点的横坐标固定不动，纵坐标变为原来的倍，就得到了的图象.此时与的图象有两个不同的交点. 综上，的取值范围是． 法五： 令，，则有两个零点与的图象有两个不同的交点． ，由可得，由可得，所以在上单调递增，在上单调递减，当时，． 由（1）可知，，所以是凹函数，而是凸函数，如图． 当与的图象相切时，设切点为．则有 消去，，可得， 即，从而． 令，显然是增函数，而，于是，此时切点为，． 当与的图象有两个交点时，，所以的取值范围是． 法七：由得， 设，∴，∴， 令， ①当时，二次函数与图象可知不合题意（图1） ②当时，，不合题意（图2） ③当时，由， （ⅰ）当，即时，符合题意（图3） （ⅱ）当，即时，∵，∴， 又，∴， 易证：，∴，不合题意（图3） 综上；的取值范围是． 【举一反三】 3．设，，且a、b为函数的极值点 (1)判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论； (2)若曲线在处的切线斜率为，且方程有两个不等的实根，求实数m的取值范围. 4．已知函数，的导函数为． (1)讨论的极值点的个 ... ...