1.1 向量 【学习目标】 1.了解向量的物理实际背景,能正确进行平面向量的几何表示.(数学抽象) 2.理解相等向量、相反向量的基本概念.(数学抽象、直观想象) 【自主预习】 1.在日常生活中有很多量,如面积、质量、速度、位移等,这些量有什么区别 【答案】 面积、质量只有大小,没有方向;而速度和位移既有大小又有方向. 2.对既有大小又有方向的量,如何形象、直观地表示出来 【答案】 利用有向线段来表示. 3.“向量就是有向线段,有向线段就是向量”的说法对吗 【答案】 错误.理由:①向量只有长度和方向两个要素,与起点无关,只要长度和方向相同就是相同的向量;②有向线段有起点、长度和方向三个要素,起点不同,尽管长度和方向相同,也是不同的有向线段. 4.向量的模可以为0吗 可以为1吗 可以为负数吗 【答案】 向量的模可以为0,也可以为1,但不可以为负数. 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个向量,长度大的向量较大. ( ) (2)力、速度和质量都是向量. ( ) (3)两个有共同起点且长度相等的向量,它们的终点相同. ( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× 2.如图,在矩形ABCD中,可以用同一条有向线段表示的向量是( ). A.和 B.和 C.和 D.和 【答案】 B 【解析】 易知=. 3.如图,在1 cm×3 cm的方格纸中,以A为始点,其他格点为终点,可以写出 个不同的向量. 【答案】 7 【解析】 由图可知,以A为始点的向量有,,,,,,,共7个. 【合作探究】 探究1 向量的基本要素及几何表示 问题1:某人在天安门广场的正中央向北前进100米,再左转90°后前进100米,再左转90°后前进100米,再左转90°后前进100米,请用向量画出他从出发点到达终点的示意图. 【答案】 用长为1 cm的向量表示该人前进100米,他四次前进100米的示意图如图所示. 问题2:如果他每次不是左转90°,而是每次左转60°后前进100米,他能回到出发点吗 【答案】 他每次左转60°后前进100米,能回到出发点.要经过六次才能回到出发点. 问题3:上述问题中具有方向的线段叫什么 【答案】 有向线段. 问题4:我们知道有向线段具有方向,它有大小吗 【答案】 有,就是有向线段的长度. 问题5:既有大小又有方向的量,在数学中称为什么 【答案】 向量. 新知生成 向量的概念与表示 (1)既有 大小 又有 方向 的量称为向量. (2)向量的表示:向量用粗体字母(印刷)或在字母上方标箭头(书写)来表示,如向量a,b,F,,,.把只有 大小 没有 方向 的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量. (3)向量的模:向量a的大小,也就是向量a的长度,称为a的模,记作|a|. 新知运用 例1 一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点,然后改变方向,向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100千米到达D点.请作出,,. 方法指导 作图既要考虑向量的模的大小,又要考虑其方向和起点,为此应先建立坐标系,再根据行驶方向确定有关向量. 【解析】 作出向量,如图所示. 【方法总结】 准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点. 已知飞机从A地向北偏东30°方向飞行2000 km到达B地,再从B地向南偏东30°方向飞行2000 km到达C地,再从C地向西南方向飞行1000 km到达D地. (1)作出向量,,,. (2)D地在A地的什么方向 D地距A地多远 【解析】 (1)向量,,,如图所示. (2)由图知,D地在A地的东南方向,距A地1000 km. 探究2 相等向量与相反向量 小明沿着篮球场的边缘,从A点走到B点,又从B点走到A点. 问题1:上述问题中,向量和向量相等吗 若不相等,二者有什么关系 【答案】 因为向量和向量的方向不同,所以它们不相等.二者互为相反向量. 问题2:如果小明在A处不动,那么向量的模是多少 的方向确定吗 【答案】 ||= ... ...
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