课时10 圆的一般方程 学习目标 1.理解圆的一般方程及其特点，能进行圆的一般方程与标准方程的互化. 2.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题． 学习活动 目标一：理解圆的一般方程及其特点，能进行圆的一般方程与标准方程的互化. 任务1：推导圆的一般方程，探究圆的一般方程的特点. 回顾：（1）以（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程是什么？ 参考答案： （2）将其展开，思考其是关于变量x，y的什么关系式？ 参考答案：，关于变量x，y的二元二次方程，形如. 问题1：一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？D、E、F满足什么条件时，方程表示圆？ 参考答案：不一定，理由，将配方可得,当时，原方程可表示圆. 问题2：当时，圆的一般方程中圆心、半径如何表示？ 参考答案：圆心：;半径. 【归纳总结】 圆的一般方程：当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示以(-,-)为圆心,为半径的圆. 几个常见圆的一般方程: (1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0)， (2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0)； (3)圆心在x轴上的圆的方程,x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0)； (4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0)； (5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0). 思考1：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？ 参考答案：圆的标准方程：其给出了圆心坐标和半径；圆的一般方程：表明其形式是一种特殊的二元二次方程，代数特征非常明显. 思考2：若D2+E2-4F<0或D2+E2-4F=0，则其分别表示什么图形？ 参考答案：当D2+E2-4F<0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，故不表示任何图形；当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0只有唯一实数解，故表示点. 练一练： 1.已知方程表示圆，则的取值范围是 A． B．， C．，， D． 参考答案：解：方程表示圆， ，解得或，实数的取值范围是，，，故选：． 2.已知圆的方程为，则圆心的坐标为 A． B． C． D． 参考答案：解：圆的方程为， ，圆心的坐标为．故选：． 目标二：会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题． 任务1：求圆的一般方程，归纳圆的一般方程的求法. 求过三点，，的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 参考答案：解：设圆的方程是.① 因为，，三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①， 得，解得. 所以，所求圆的方程是. 故所求圆的圆心坐标是，半径. 【归纳总结】 待定系数法： 1.根据题意，选择标准方程或一般方程； 2.根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； 3.解出a、b、r或D、E、F，得到标准方程或一般式. 思考：圆的一般方程和圆的标准方程用待定系数法有什么区别？ 参考答案：圆的一般方程待定系数法计算比较简便. 任务2：求与圆有关的轨迹方程. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 问题1：若设，则如何用A点坐标表示M点坐标？ 参考答案：根据中点坐标公式，有，所以. 问题2：结合A的轨迹方程，M点的轨迹方程是什么？轨迹是什么图形？ 参考答案：因为A的轨迹方程是，所以将代入A的轨迹方程中，可得，化简得.这就是M点的轨迹方程，它表示以为圆心，1为半径的圆. 思考：上述问题有什么特点？是如何求曲线的轨迹方程？ 【归纳总结】 1.问题特点：（1）已知一条曲线方程；（2）知道所求曲线上的动点与曲线的点关系；（3）求曲线的轨迹. 2.相关点法：（1）用的坐标表示点坐标；（2）将（1）中式子代入中；（3）变形可得. 练一练： 已知圆上动点A，x轴上定点B(2,0)，将BA延长到M，使AM＝BA，求动点M的轨迹方程． 参考答案：设A(x1，y1)，M(x，y)，∵AM＝BA，且M在BA的延长线上，∴A为线段MB的中点，由中点坐标公式得，∵A在圆上运动，将点A的坐标代入圆的方程，得，化简得(x＋4)2 ... ...
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