1.1 课时2 瞬时变化率与导数 【学习目标】 1.通过实例领悟瞬时速度、瞬时变化率(导数)的概念,会求简单函数的瞬时变化率.(数学抽象、数学运算) 2.了解导数的实际背景,体会导数的内涵与思想.(数学抽象) 【自主预习】 1.瞬时速度的概念和计算方法是哪位科学家给出的 2.瞬时速度与平均速度有什么关系 3.根据瞬时速度的定义,想一想瞬时变化率是如何定义的 4.函数的瞬时变化率与函数的导数有什么关系 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)瞬时变化率是刻画某函数在区间(v,d)上函数值的变化快慢的物理量. ( ) (2)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与d的正、负无关. ( ) (3)设x=x0+d,当d→0时,x→x0,因此,→f'(x0). ( ) 2.当自变量从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ). A.在区间[x0,x1]上的平均变化率 B.在x0处的变化率 C.在x1处的变化量 D.在区间[x0,x1]上的导数 3.已知f'(1)=1,则当d→0时,→ . 【合作探究】 探究1 瞬时速度 跳水运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 问题1:求运动员在0,这段时间内的平均速度. 问题2:运动员在0,这段时间内是静止的吗 问题3:你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题 问题4:在高台跳水运动中,平均速度不能反映运动员在这段时间内的运动状态,需要用瞬时速度描述运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.如何求瞬时速度呢 新知生成 若物体的运动方程为s=f(t),则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t),就是平均速度v(t,d)=在d趋近于0时的极限,这个极限记为. 应注意的是,这里用“趋近于0”来表述,是因为我们研究的是平均速度趋近于某一时刻的变化过程,在这个过程中,时间间隔d虽然越来越短,但始终不能为0. 新知运用 例1 若一物体的运动方程为s(t)=求此物体在t=1和t=3时的瞬时速度. 【方法总结】 求瞬时速度的三个步骤:(1)求时间改变量d和位移改变量s(t+d)-s(t);(2)求平均速度v(t,d);(3)求瞬时速度,当d无限趋近于0时,v(t,d)无限趋近于常数v,即得瞬时速度. 某汽车启动阶段的位移函数为s(t)=2t3-5t2(s的单位:米,t的单位:秒),则当t=2秒时,汽车的瞬时速度是 . 探究2 函数的瞬时变化率———导数 问题1:函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系 问题2:f'(x0)与f'(x)的区别是什么 新知生成 1.瞬时变化率 一般地,若函数y=f(x)的平均变化率在d趋近于0时,有确定的极限值,则称这个值为该函数在 x=u处的瞬时变化率.函数的瞬时变化率,数学上叫作函数的导数或微商. 2.在某点处的导数 定义:设函数y=f(x)在包含x0的某个区间上有定义,在d趋近于0时,如果比值 趋近于一个确定的极限值,那么称此极限值为函数y=f(x)在x=x0处的导数或微商,记作f'(x0).这时我们就说f(x)在点x0处的导数存在,或者说f(x)在点x0处可导或可微. 上述定义可以简单地描述为:→f'(x0)(d→0),读作“d趋近于0时,趋近于f'(x0)”.可以简记为f'(x0)=. 3.导函数 若y=f(x)在定义区间中任一点的导数都存在,则f'(x)(或y')也是x的函数,我们把f'(x)(或y')叫作y=f(x)的导函数或一阶导数. 既然导函数f'(x)也是函数,若f'(x)在定义区间中任一点处都可导,则它的导数叫作f(x)的二阶导数,记作f″(x).类似地,可以定义三阶导数f (x)等. 新知运用 例2 求函数f(x)=2x2+4x在x=3处的导数. 【方法总结】 根据导数的定义,求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤 (1)求函数值的差f(x0+d)-f(x0); (2)求差商; (3)取极限,d→0得导数f'(x0). 求函数f(x)=x-在x=1处的导数. 探究3 导数的实际意义 例3 高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)之间的关系式为h(t)=-4.9t2+6.5t+10,求运动员在t0=时的瞬时速度,并 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
