第三章一元函数的导数及其应用专题7同构与反函数法解恒成立问题 学案（含解析） 2024年高考数学复习 每日一题之一题多解

专题7 同构与反函数法解恒成立问题 【浙江省宁波市九校2023-2024学年高二上学期期末】．对任意，函数恒成立，求的取值范围_____． 将不等式转化为，构造函数，利用导数判定其单调性，分段讨论计算即可. 由． 设，则恒成立． 易知在， ． 当时，，显然成立； 当时，由单调性可知． 令，则， 则． 所以，解得． 所以答案为． （23-24高三下·四川雅安·开学考试） 1．当时，恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． （23-24高三上·河北·期末） 2．设实数，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 原不等式化为，根据函数结构及反函数的对称性质，换元变形为求恒成立，再构造函数计算最值即可. 由 令，则． 而与互为反函数， 所以问题等价于． 由对称性，只需．所以． 构造，显然时，函数单调递减，时函数单调递增， 即． （23-24高三上·陕西商洛·阶段练习） 3．已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．若对任意，恒有，求实数的最小值. 5．已知函数，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围 6．对任意，不等式恒成立，求实数的最小值. 7．已知函数，若，求的取值范围. （23-24高三上·河北·期末） 8．设实数，若对恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． （23-24高三上·陕西渭南·期中） 9．设，对任意恒成立，则m最大值（ ） A． B．e C． D． （23-24高三上·四川德阳·阶段练习） 10．已知函数，若在恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． （2020·山东·高考真题） 11．已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 参考答案： 1．D 【分析】根据题意，化简得到在上恒成立，令，求得，得到在上单调递增，转化为在上恒成立，令，利用求得函数的单调性和最大值，得到，即可求解. 【详解】由题意，当时，恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，可得，所以在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2．C 【分析】 将原不等式转化为恒成立，先判断得出恒成立，结合不等式的基本性质可得恒成立，进而求解即可. 【详解】 ，即， 因为，所以，即恒成立， 令，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 因为，所以， 若时，不等式恒成立，则恒成立， 若时，，恒成立，则也成立， 所以当时，恒成立，所以得，即， 设 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，所以，即正实数的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：运用同构的基本思想将原不等式转化为恒成立，再运用不等式的性质，先得出恒成立，再运用导数讨论恒成立进而求出结果. 3．C 【分析】将问题转化为，令函数，则，再由的单调性将问题转化为恒成立，构造函数，利用导数求出其最大值即可. 【详解】由题知恒成立，可得(否则时，不等式不成立)， 所以， 则. 令函数，则. 因为， 所以在上为增函数， 所以，即. 令函数，则， 当时，；当时，， 所以在单调递增，在上单调递减. 所以. 故的取值范围是. 故选：C ... ...