第五章数列专题2等差数列中的计算 学案（含答案） 2024年高考数学复习 每日一题之一题多解

专题2 等差数列中的计算 【数列（苏教课本试题）】在等差数列中，前项和满足，，求． 【方法名称】整体代换法 【思路分析】利用等差数列的求和公式和等差数列的性质进行合理转换. 【详解】法一：不妨设，， ∴，又，故． 【举一反三】 1．在数列中，已知，则该数列前2023项的和 . 2．已知等差数列的前项和为，若，则 . 【方法名称】等差数列性质法 【思路分析】根据等差数列性质得为等差数列，再根据一次函数性质求结果. 【详解】因为为等差数列，所以为等差数列， 即三点共线 则 故答案为： 【举一反三】 3．已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为 ． 4．等差数列中，，前项和为，若，则 . 【方法名称】等差数列前n项和的函数特征 【思路分析】利用等差数列前n项和的函数特征去整体代换 【详解】设公差为d，∵ 设①，则② ①－②得③ 而 【举一反三】 5．已知是各项不全为零的等差数列，前n项和是，且，若，则正整数 ． 6．在等差数列中，满足，且是数列前项的和， 若取得最大值，则 【方法名称】基本量法 【思路分析】设出基本量，均用基本量表示代换 【详解】设首项为，公差为 . ∵，， ∴ ∵，∴，∴，∴ 【举一反三】 7．已知等差数列的前n项和为，，，，则实数m的值是 ． 8．记等差数列的前项和为，若，则 . 9．已知等差数列的前项和为，且，，则取最小值时， ． 10．设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则 ． 11．已知是等差数列{}的前n项和，若仅当时取到最小值，且，则满足的n的最小值为 . 12．在数列中，若，前项和，则的最大值为 ． 13．已知是等差数列的前项和，若则 ． 14．在等差数列中，，其前项和为，若，则 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 参考答案： 1．2023 【分析】由题目条件分析可知数列为等差数列，然后利用等差数列的前项和公式、结合等差数列的性质求解. 【详解】由可知，数列为等差数列， 所以， 所以. 故答案为：2023. 2． 【分析】根据等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，所以， 所以. 故答案为： 3． 【分析】根据等差数列通项和前项和的函数性可证得数列为等差数列，结合已知等式可求得，由可构造不等式组求得结果. 【详解】设等差数列的公差为， ，， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，解得：； ，，解得：， 即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：若数列为等差数列，公差为，为数列的前项和，则数列是以为首项，为公差的等差数列. 4． 【分析】由已知结合等差数列的性质可得为等差数列，再设公差为及通项公式即可求解． 【详解】设的公差为，由等差数列的性质可知，因为，故，故为常数，所以为等差数列，设公差为 ，， ， ， ，则 故答案为： 5． 【分析】设出等差数列的首项和公差，将前n项和看成关于n的二次函数，利用二次函数的图象和性质即可求解. 【详解】设等差数列的首项和公差分别为，，则， 也即，可以把可看成关于n的二次函数， 由二次函数的对称性及，， 可得，解得． 故答案为：. 6．11 【分析】根据等式条件，可求得与的等量关系，结合等差数列前n项和公式及二次函数性质，即可求得取得最大值时的值. 【详解】等差数列中，满足， 由等差数列通项公式可知，即， 由等差数列前n项和公式可得 ， 因为 所以当时，取得最大值， 故答案为：11. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的基本运算，等差数列前n项和公式的应用，二次函数性质求最值，属于中档题. 7． 【分析】利用求得正确答案. 【详解】依题意， 设等差数列的公差为， 则，， 两式相减得，则， ， 所以，解得. 故答案为： 8． 【分析】利用等差数列前n项和、等差中项可得，再应用通项公式求结果. 【详解】，则， 其中为 ... ...