第四章三角函数与解三角形专题16函数与不等式解图形最值问题 学案（含答案） 2024年高考数学复习 每日一题之一题多解

专题16 函数与不等式解图形最值问题 【2024届苏北六市一模第8题】某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品，要求将一个边长分别为和的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为（ ） A. B. C. D. 根据图形关系设出角度，用三角函数表示矩形框架各个边，结合三角函数变换公式以及三角函数图像求解最值. 如图 令，则，，则，，则 周长，选D （2024上·重庆·高一统考期末） 1．如图，半径为1的扇形圆心角为，点P在弧上运动，连结PA，PB，得四边形OAPB． (1)求四边形OAPB面积的最大值； (2)求四边形OAPB周长的最大值． （2024上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末） 2．如图，在扇形中，半径，圆心角.是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，记. (1)将矩形的面积表示成关于的函数的形式； (2)求的最大值，及此时的角. 根据题意设出一条边的长度，进而表示出周长，根据导数与函数的关系来求解最值. 令 在，在 ，∴的最大值为 （2023下·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习） 3．若将一边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方盒的容积最大 B．方盒的容积没有最小值 C．方盒容积的最大值为 D．方盒容积的最大值为 （2022·高二课时练习） 4．如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2，宽为1的矩形，矩形两边、紧靠两条互相垂直的路上，现要过点修一条直线的路，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点和．则的面积的最小值为 ． （2023·江西南昌·江西师大附中校考三模） 5．某城市有一块不规则的空地（如图），两条直边，曲边近似为抛物线的一部分，该抛物线的对称轴正好是直线.该城市规划部门计划利用该空地建一座市民活动中心，该中心的基础建面是一个矩形在边上，在边上，在曲边上，为使建面最大，则 ． （2024上·上海·高二上海师大附中校考期末） 6．（1）“老六”和他的老铁们要参加学校的“科目三”表演活动，他们要用一张边长为的正方形蓝色纸片做一顶圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥.如图所示，其中是该圆锥的高，求该圆锥的体积； （2）“老六”将周长为4的矩形绕旋转一周得到一个圆柱，求当圆柱的体积最大时矩形的面积. （2023下·广东东莞·高二东莞实验中学校考阶段练习） 7．某物流公司购买了一块长米，宽米的矩形地块，规划建设占地如图中矩形的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点在地块对角线上，、分别在边、上，假设长度为米．若规划建设的仓库是高度与的长相同的长方体建筑，问长为多少时仓库的库容最大？并求出最大值．（墙体及楼板所占空间忽略不计） 设出各边长度，根据两个勾股定理得到两组等量关系，表示出矩形框架长度，结合柯西不等式求解最值即可. 设，则 由柯西不等式 同理，∴ “＝”成立当且仅当 （2020下·浙江温州·高三温州中学校考阶段练习） 8．如图，在中，为边上的高线.为三角形内一点，由向三角形三边作垂线，垂足分别为，，，已知，，，依次构成公差为1的等差数列. （1）求的面积； （2）求的最小值. 根据角的关系转化得到各个边的长度之比，利用双变量表示周长，结合基本不等式求最值即可. 如图所示，， 设，则. 由得 ，. ， 矩形ABCD周长为. 又， ，当且仅当时，等号成立. 矩形框架周长的最大值为，选D （2021下·广东佛山·高一统考竞赛） 9．在一个圆心角为，半径为1米的扇形铁板中按如图方式截出一块矩形，则该矩形的面积的最大值为 平方米. （2024上·上海·高二上海市进才中学校考期末） 10．如图，在宽为14的路边安装路灯，灯柱高为8，灯杆是半径为的 ... ...