专题12 立体几何截面最值问题 【2024届成都市一诊理科数学T16】已知高，底面半径的圆锥内接于球，则经过和中点的平面截球所得截面面积的最小值_____． 在三角形中，由勾股定理得出球的半径，在和中，由公共边结合勾股定理得出截面圆的半径，进而得出截面面积的最小值. 解：， 在和中，， ． （2020·湖北·校联考一模） 1．已知长方体各个顶点都在球面上，，，过棱作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为 . （2023上·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校联考学业考试） 2．在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝3，BC＝CD＝3，BC⊥CD，将△ABD沿BD折起，使点A到达A′，且，则四面体A′BCD的外接球O的体积为 ；若点E在线段BD上，且BD＝4BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆中面积最小的圆半径为 . 由锐角三角函数得出，再以公共边结合锐角三角函数得出截面圆的半径，进而得出其最小面积. 解：如图，的中点为垂直于中线，垂足于点， ， ，故． 建立坐标系，由公共边结合勾股定理得出截面圆的半径，进而得出截面面积的最小值. 解：，在三维坐标系中， ， 的中点坐标为， ， 令，， ． （2022上·山东东营·高二东营市第一中学统考期中） 3．在长方体中，已知，E、F分别为、的中点，则三棱锥的外接球半径为 ，平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为 ． （2023上·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习） 4．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一，该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形.将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体.已知，，，过直线作平面，则十面体外接球被平面所截的截面圆面积的最小值是 由勾股定理得出球的半径，进而当垂直截面时，截面的最小值，最后由半径得出面积. 解：，交球于，当垂直截面时，截面的最小值为：． 由勾股定理得出球的半径，设的中点为，过的截面为，当且时，截面面积最小，再由相似关系得出半径，进而得出面积. 解：设球半径为，球心为，则，设的中点为，过的截面为，当且时，截面面积最小，由相似关系得： ． （2023·四川泸州·四川省叙永第一中学校校考模拟预测） 5．在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为 ． （2023下·宁夏银川·高一银川一中校考期末） 6．已知在球的内接长方体中，，，若为线段的中点，则过点的平面截球所得截面面积的最小值为 ． （2022·全国·高三校联考阶段练习） 7．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD, ，点E在棱PB上，且， 过E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是 . （2022上·广西柳州·高三统考阶段练习） 8．已知空间四边形的各边长及对角线的长度均为6，平面平面，点M在上，且，过点M作四边形外接球的截面，则截面面积的最小值为 . （2023·江苏南通·高三校联考阶段练习） 9．已知正方体棱长为1，是上一点，且.经过点作平面截正方体的外接球，则截得的截面面积的最小值为 （2023上·贵州黔西·高二统考期末） 10．在长方体中，已知，，分别为，的中点，则长方体的外接球表面积为 ，平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 参考答案： 1．5 【分析】过棱作该球的截面，则当截面面积最小时，截面的直径为，求出球的半径，可得球心到截面的距离． 【详解】过棱作该球的截面，则当截面面积最小时，截面的直径为， 长方体各个顶点都在球面上，，， 球的半径为， 球心到截面的距离为． 故答案为：5. 【点睛】本题考查求球心到截面的距离，考查学生的计算能力，确定当截面面积最小 ... ...
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