6.3平面向量基本定理及坐标表示 学校:_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 1. 平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1和λ2，使得a = λ1e1 + λ2e2。这里的e1和e2被称为表示这一平面内所有向量的一组基底。这个定理保证了向量与坐标之间的一一对应关系，而零向量和共线向量不能作为基底。 2. 向量的坐标运算：在平面直角坐标系中，向量可以用坐标表示。如果a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，那么向量的加法和减法运算可以表示为a ± b = (x1 ± x2, y1 ± y2)。此外，如果a = (x1, y1)，λ是一个实数，那么λa = (λx1, λy1)。 3. 坐标表示的意义：坐标表示使得平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系。这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。在学习中，需要准确理解平面向量坐标表示的概念与意义，并能够灵活、熟练地进行平面向量坐标运算。 一、单选题 1．若向量 ，，，且，则（ ） A． B． C． D． 2．已知点A(-1，-5)，向量=(-1，0)，=(1，-1)，当=+时，点B的坐标为（ ） A．(2，6) B．(-1，-6) C．(0，-1) D．(-4，5) 3．已知点，，向量，则向量（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，，命题，命题使得成立，则命题是命题的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 5．如图，点，，，均在正方形网格的格点上.若，则（ ） A．1 B． C． D．2 6．在中，，则（ ） A． B． C． D．6 7．在中，已知，， ，于，为的中点，若 ，则，的值分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 8．已知向量 ， ，则在方向上的投影是（ ） A． B． C． D． 9．如图所示，在中，，，若，，则（ ） / A． B． C． D． 10．已知向量，，则与的夹角为（） A． B． C． D． 11．已知向量，则下列叙述中正确的是（ ） A．存在实数，使 B．存在实数，使 C．存在实数，使 D．存在实数，使 12．已知向量，且，则（ ） A． B． C．6 D．8 二、填空题 13．已知中，，D为的中点，则 . 14．如图，在中，，是线段的两个三等分点，，则 ． 15．已知，，若，则实数 . 16．已知向量，，且，则 . 17．已知在梯形中,,且A,B,D三点的坐标分别为,则顶点C的横坐标的取值范围是 . 三、解答题 18．已知向量，， (1)求函数的单调递减区间； (2)若，，求的值. 19．在如图的方格纸（每个小方格边长为1）上有A，B，C三点，已知向量以A为始点． (1)试以B为始点画出向量，使，且，并求向量的坐标； (2)在（1）的条件下，求． 20．已知中. （1）设，求证：是等腰三角形； （2）设向量，，且，若，求的值. 21．一船以8 km/h的速度向东航行，船上的人测得风自北方来；若船速加倍，则测得风自东北方向来，求风速的大小及方向． 22．设向量 (1)求与垂直的单位向量； (2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围. 参考答案： 1．C 2．B 3．A 4．A 5．B 6．B 7．B 8．C 9．B 10．B 11．D 12．C 13． 14． 15． 16． 17． 18．(1)函数的单调递减区间为， (2) 19．(1) (2) 20．（1）略；（2）. 21．风速的方向为西北，大小为. 22．(1)或 (2) ... ...
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