压轴小题12 一组不等式的恒成立问题 【2024年3月济南市高三模拟考试 】 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 根据题意直接代入两个端点求解参数范围，再验证该范围对题意成立的充分性即可. 解．首先代入边界条件， 然后相加得． 取等时．如果这是一个大题，下面要验证充分性：． 首先记，则，故． 再记，则，故． 这样充分性得证，最小值为． 1．若函数在上单调递增，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．已知函数， (1)讨论函数的单调区间； (2)若在恒成立，求实数取值的集合. 3．设，函数的图象与直线相切，其中是自然对数的底数． (1)求实数的值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 通过化简将原题转化为直线夹在两端曲线中间的问题，根据参数表示的意义以及图形的特征求解答案即可. 解：∵，∴． 令，对恒成立 ∴在上单调递增， 令，对恒成立，∴在上单调递增 作出草图 显然当直线过和时有a的最小值． ，的最小值为 4．若存在，使得对于任意，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．已知关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 6．已知函数，若恒成立，则实数a的最大值为（ ） A． B． C．2e D． 根据选择题的特征，找出选项中最小的值，直接代入检验原题成立即可得到答案！ 解：依题意，结合选项知，当时， 记，则，． 在上单调递减，，即． 记，则，在上单调递增． 在上单调递减． ，因此此时， 满足题意，选A． 7．已知正数满足，则（ ） A． B． C．1 D． 8．已知在函数，，若对，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9．若存在实数，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．设函数，若对任意，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 12．已知，若关于x的不等式对一切正实数x恒成立，则当取最小值时，实数的值为 . 13．已知函数，若关于x的不等式（e是自然对数的底数）在R上恒成立，则a的取值范围 ． 14．已知，若恒成立，则实数的值为 . 15．已知对，不等式恒成立，则的最大值是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 参考答案： 1．D 【分析】 根据题意可得在上恒成立，构建，结合定点分析运算. 【详解】因为，则， 由题意可得在上恒成立， 构建，则， 注意到，则，解得， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 若，因为，则， 可得； 若，因为，则， 可得； 综上所述：当时，在上恒成立， 则在上单调递增，可得，符合题意； 故实数m的取值范围为. 故选：D. 【点睛】 方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 2．(1)答案见解析 (2) 【分析】 （1）直接求导对参数分类讨论即可； （2）先通过恒成立得到时取到极小值，求出的值，再通过构造新函数或者再求导验证取到的值的时候函数在时取到极小值. 【详解】（1） 当时，恒成立，此时在单调递增； 当时，令，解得，此时单调递减， 令，解得，此时单调递增， 所以当时在单调递增； 当时在单调递减，在单调递增； （2） 由题意即在恒成立， 即在时恒成立， 又因为，所以当时，取得最小值. 因为， 则为函数在的一个极小值点， 所以，即 ，解得. 下面证明：当时，为函数在的一个极小值点 因为，. 法一：先证明时， 即证，即 ， 令，， 则， 所以当时，， 当时，， 所以恒成立， 从而恒成立 ... ...
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