第六章平面向量及其应用 知识归纳题型突破（含解析） 高中数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用（知识归纳+题型突破） 1．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 2．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．灵活应用正余弦定理解三角形，会运用正（余）弦定理，解决三角形中的边，角问题． 6．能灵活运用正余弦定理解决生活中的三角形问题． 知识点01：向量的加法 （1）向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定. （2）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量，，在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. （3）向量加法的平行四边形法则（作平移，共起点，四边形，对角线） 已知两个不共线向量，，作，，以，为邻边作，则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 知识点02：向量的减法 （1）相反向量 与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作. ①零向 量的相反向量仍是零向量 ②任意向量与其相反向量的和是零向量，即: ③若，互为相反向量，则，，. （2）向量减法定义 向量加上的相反向量，叫做与的差，即. 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，可以把向量的减法转化为向量的加法进行运算. （3）向量减法的几何意义 已知向量，，在平面内任取一点，作，，则向量.如图所示 如果把两个向量，的起点放在一起，则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 知识点03：向量三角不等式 ①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）； ②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）； 记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立； 知识点04：向量的数乘 （1）向量数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. 知识点05：向量共线定理 内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. 知识点06：平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 （2）投影 如图，设，是两个非零向量，，，作如下变换:过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 知识点07：平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使. 若，不共线，我们把，叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 知识点08：平面向量的坐标表示 （1）两个向量和（差）的坐标表示 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）. 坐标表示：，则： ； （2）向量数乘的坐标表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 坐标表示:，则. 知识点09：平面向量共线的坐标表示 设，，其中，则当且仅当存在唯一实数，使得； 用坐标表示，可写为，即： 消去得到：. 这就是说，向量()共线的充要条件是. 知识点10：两个向量平行、垂直的坐 ... ...