1.1.2 空间向量的数量积运算 基础过关练 题组一 空间向量数量积的概念及其运算 1.(2024天津河东期中)如图,若正四面体A-BCD的棱长为1,且=,则·=( ) A.-1 B.- C. D.1 2.(2024北京丰台期中)已知i,j,k为空间两两垂直的单位向量,且a=i+2j-k,b=3i-j+4k,则a·b= . 3.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角是120°,当a+2b与ka-b的夹角为钝角时,k的取值范围为 . 题组二 利用空间向量的数量积求夹角或其余弦值 4.(2024江西吉安泰和期中)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a+2b|=2,那么a与b的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 5.(教材习题改编)已知空间四边形OABC的各边长及对角线长都相等,E,F分别是AB,OC的中点,则向量与向量夹角的余弦值为 . 题组三 利用空间向量的数量积求长度(模) 6.(教材习题改编)已知两条异面直线a,b所成的角为60°,在直线a,b上分别取点A,E和点B,F,使AB⊥a,且AB⊥b.已知AE=6,BF=8,EF=2,则线段AB的长为( ) A.10 B.2 C.2或10 D.2或2 7.(2024江苏无锡锡山高级中学阶段性检测)已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量,,两两的夹角均为60°,且||=1,||=2,||=3,则||=( ) A.5 B.6 C.4 D.8 题组四 利用空间向量的数量积解决垂直问题 8.(多选题)(2024河南商丘宁陵高级中学月考)已知四面体ABCD中,AB,AC,AD两两垂直,则以下结论中一定成立的是( ) A.|++|=|+-| B.(++)·=0 C.|++|2=||2+||2+||2 D.·=·=· 9.(2023河南郑州中学月考)如图所示,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC=DA=2,E为BC的中点. (1)证明:AE⊥BC; (2)求直线AE与DC所成角的余弦值. 能力提升练 题组一 利用空间向量的数量积求异面直线所成的角或其余弦值 1.(2024北京顺义牛栏山一中月考)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠BAD=,∠BAA1=∠DAA1=,则直线BD1与直线AC所成角的余弦值为( ) A.- B. C.- D. 2.(2023广东佛山顺德一中月考)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1,则AB1与BC1所成角的大小为( ) A.60° B.90° C.105° D.75° 3.(2024湖南湘潭湘乡名民实验中学开学考)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是BC1的中点,则异面直线PD与A1B所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 题组二 利用空间向量的数量积求长度(距离) 4.(2024山西大学附属中学二诊)如图,在平面角大小为60°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是 . 5.(2024重庆璧山来凤中学月考)已知空间向量,,的模分别为1,2,3,且两两间的夹角均为60°.点G为△ABC的重心,若=x+y+z,x,y,z∈R,则||= . 题组三 空间向量数量积的综合应用 6.(2024四川广元苍溪中学月考)在四面体P-ABC中,有以下四个结论,其中错误的是( ) A.若=+,则=3 B.若四面体P-ABC的各棱长都相等,则·=0 C.若·=0,·=0,则·=0 D.若四面体P-ABC的各棱长都为2,M,N分别为PA,BC的中点,则||=1 7.(教材深研拓展)(多选题)在三维空间中,定义a×b叫做向量a与b的外积,它是一个向量,满足下列两个条件: ①a⊥(a×b),b⊥(a×b),且a,b和a×b构成右手系(即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致,如图所示); ②a×b的模|a×b|=|a||b|sin
(表示向量a,b的夹角). 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有以下四个结论,其中正确的有( ) A.|×|=|×| B.×与共线 C.×=× D.6|×|与正方体表面积的数值相等 答案与分层梯度式解析 1.1.2 空间向量的数量积运算 基础过关练 1.C 4.B 6.D 7.A 8.ACD 1.C 因为正四面体A-BCD的棱长为1,且=, 所以·=(+)·=·=·=·+·-·=1×1×cos 60°+×1×1×cos 60°-×1×1×cos 60°=.故选C. 2.答案 -3 解析 ∵i,j,k为空间两 ... ... 
