专题强化练2 和圆有关的最值(范围)问题 1.(2023北京工业大学附属中学期中)已知A(-1,0),B(0,1)两点,点C与点(1,0)间的距离为1,则△ABC面积的最大值为( ) A.1 B. D.2 2.(2024湖北云学新高考联盟学校联考)若点A,B在圆C1:(x-2)2+y2=3上运动,|AB|=2,P为AB的中点,点Q在圆C2:(x+2)2+y2=1上运动,则|PQ|的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2024浙江温州新力量联盟期中联考)已知点P是圆C:(x+1)2+(y-2)2=1上的动点,直线l:(m-1)x+my+2=0是动直线,则点P到直线l的距离的最大值是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 4.(2024江西大联考期中教学质量检测)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=25,A,B为圆C上两点,且|AB|=8,P为圆C上一点,则||的最大值是( ) A.16 B.12 C.8 D.6 5.在一个平面上,机器人在与点C(3,-3)的距离为8的地方绕C点顺时针而行,它在行进过程中到经过点A(-10,0)与B(0,10)的直线的最近距离为( ) A.8+8 C.8 6.(2023浙江温州十校联合体期中)几何学史上有一个著名的米勒问题:“如图,点M,N是锐角∠AQB的一边QA上的两点(均不为顶点),试在边QB上找一点P,使得∠MPN最大.”其结论是:点P为过M,N两点且和射线QB相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题:在平面直角坐标系xOy中,给定两点M(1,2),N(3,4),点P在x轴上移动,当∠MPN取最大值时,点P的横坐标为 . 7.(2024浙江嘉兴高级中学第一次教学调研)若圆x2+y2=r2(r>0)上恰有相异两点到直线4x-3y+25=0的距离等于1,则r的取值范围是 . 8.(2022湖南岳阳重点高中月考)阿波罗尼斯(古希腊数学家,约公元前262—前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余地.阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.现有△ABC,AC=6,sin C=2sin A,则当△ABC的面积最大时,它的内切圆的半径为 . 9.已知点(x,y)在圆C:(x-2)2+(y+3)2=1上. (1)求x+y的最大值和最小值; (2)求的最大值和最小值; (3)求的最大值和最小值. 答案与分层梯度式解析 专题强化练2 和圆有关的最值(范围)问题 1.C 设C(x,y),因为点C与点(1,0)间的距离为1,所以(x-1)2+y2=1,它表示以(1,0)为圆心,1为半径的圆,易知直线AB的方程为x-y+1=0,|AB|=,则圆心(1,0)到直线AB的距离d=,所以点C到直线AB的距离的最大值为+1,所以(S△ABC)max=,故选C. 2.B 由题知,圆C1:(x-2)2+y2=3的圆心为C1(2,0),圆C2:(x+2)2+y2=1的圆心为C2(-2,0).∵点A,B在圆C1:(x-2)2+y2=3上运动,|AB|=2,∴AB的中点P与圆心C1(2,0)之间的距离为=1,由圆的定义可知,点P的运动轨迹是以C1(2,0)为圆心,1为半径的圆,即圆(x-2)2+y2=1,又∵点Q在圆C2:(x+2)2+y2=1上,∴|PQ|的最小值为|C1C2|-1-1=2.故选B. 3.C 圆C:(x+1)2+(y-2)2=1的圆心为C(-1,2),半径r=1,将(m-1)x+my+2=0化为m(x+y)+2-x=0,令所以直线l过定点Q(2,-2),又因为|CQ|==5>1,所以点Q在圆C外,因为点P到直线l的距离的最大值即为点P与点Q之间的距离,P是圆C上的动点,所以|PQ|max=|CQ|+r=5+1=6,所以点P到直线l的距离的最大值为6.故选C. 4.A 取AB的中点D,连接PD,CD,CB,则||,因为|AB|=8,所以|CD|==3,所以点D在以C为圆心,3为半径的圆上,又P在圆C:(x-3)2+(y-4)2=25上,所以||max=5+3=8,所以||max=16,故||的最大值是16.故选A. 5.A ∵该机器人在与点C(3,-3)距离为8的地方绕C点顺时针而行,∴该机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示. ∵A(-10,0),B(0,10),∴直线AB的方程为=1,即x-y+10=0,则圆心C到直线AB的距离d=>8,∴最近距离为8-8.故选A. 6.答案 3 解析 设直线MN与x轴交于点Q,易得Q(-1,0),过点M,N且与x轴 ... ...
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