湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高三下学期月考（七）数学试题 （含解析）

长沙市一中2024届高三月考试卷（七） 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．样本数据15、13、12、31、29、23、43、19、17、38的中位数为（ ） A．19 B．23 C．21 D．18 2．已知集合，，则集合的非空子集个数为（ ） A．4 B．3 C．8 D．7 3．已知实部为3的复数z满足为纯虚数，则（ ） A．2 B． C． D． 4．已知数列满足，则“”是“是递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，则（ ） A． B．2 C．1 D． 6．过抛物线的焦点F的直线交E于点A，B，交E的准线l于点C，，点D为垂足．若F是AC的中点，且，则（ ） A．4 B． C． D．3 7．已知双曲线的左焦点为F，为C上一点，且P与F关于C的一条渐近线对称，则C的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 8．已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数的图象关于点中心对称，则（ ） A．3 B． C．1 D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（ ） A．函数关于原点对称 B．曲线的对称轴为， C．在区间单调递减 D．曲线在点处的切线方程为 10．已知二面角A—CD—B的大小为，，，且，，则（ ） A．是钝角三角形 B．异面直线AD与BC可能垂直 C．线段AB长度的取值范围是 D．四面体A—BCD体积的最大值为 11．甲、乙两同学参加普法知识对抗赛，规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答．若回答正确，得1分，答题继续；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题．据经验统计，甲、乙每次答题正确的概率分别是和，且第1题的顺序由抛掷硬币决定．设第i次答题者是甲的概率为，第i次回答问题结束后中甲的得分是，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的系数为_____． 13．已知动点P在圆上，动点Q在曲线上．若对任意的，恒成立，则n的最大值是_____． 14．已知正六棱锥的高是底面边长的倍，侧棱长为，正六棱柱内接于正六棱锥，即正六棱柱的所有顶点均在正六棱锥的侧棱或底面上，则该正六棱柱的外接球表面积的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．盒中有形状、大小均相同的卡片6张，卡片依次标记数字1，2，2，3，3，3． （1）若随机一次取出两张卡片，求这两张卡片标记数字之差为1的概率； （2）若每次随机取出两张卡片后不放回，直到将所有标记数字为2的卡片全部取出，记此时盒中剩余的卡片数量X，求X的分布列和． 16．如图三棱锥P—ABC中，，，． （1）证明：； （2）若平面平面，，求二面角A—PB—C的余弦值． 17．已知定义在上的函数． （1）求的极大值点； （2）证明：对任意，． 18．已知椭圆的上、下顶点分别为，，其右焦点为F，且． （1）求椭圆C的方程； （2）若点，在直线BP上存在两个不同的点，满足．若直线与直线分别交C于点M，N（异于点A），证明：P，M，N三点共线． 19．定义三边长分别为a，b，c，则称三元无序数组为三角形数．记D为三角形数的全集，即． （1）证明：“”是“”的充分不必要条件； （2）若锐角内接于圆O，且，设． ①若，求； ②证明：． 长沙市一中2024届高三月考试卷（七） 数学参考答案 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C A D A D A 1．C【解析】将这10个数据从小到大排列为12，13，15，17，19，23，29，31，38，43，所以这组数据的中位数是．故选：C． 2．B【解析】因为 ... ...