第三章 空间向量与立体几何 全卷满分150分 考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.一束光线自点P(-1,1,1)发出,被yOz平面反射后到达点Q(-3,3,3),则光线所走过的路程是( ) A.2 B.6 C.2 2.平面α的一个法向量为n=(1,2,3),P(1,1,1),P∈α,Q∈α,则点Q的坐标可以是( ) A.(-1,-1,-1) B.(4,2,-1) C.(3,2,1) D.(2,2,0) 3.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则( ) A.x=,y=-4 C.x=2,y=- D.x=1,y=-1 4.平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到平面α的距离为( ) A.10 B.3 C. 5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,PA=AB,则下列数量积最大的是( ) A.···· 6.中国元代数学家郭守敬主持建造的观星台(如图①)可近似看成一个正四棱台ABCD-A1B1C1D1(如图②),若AB=2A1B1,点M在BD1上,且BM=3D1M,则=( ) A. C. 7.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,SA⊥平面ABCD,P为底面ABCD内的一个动点,若·=1,则动点P在( ) A.圆上 B.双曲线上 C.抛物线上 D.椭圆上 8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=1,O是AC的中点,点P在线段A1C1上,若直线OP与平面ACD1的夹角为θ,则cos θ的取值范围是( ) A. C. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列命题中正确的是( ) A.若AB∥CD,则∥ B.|a|+|b|=|a+b|是a,b共线的必要条件 C.若A,B,C三点不共线,对空间任一点O,,则P,A,B,C四点共面 D.若P,A,B,C为空间四点,且有不共线),则λ+μ=1是A,B,C三点共线的充要条件 10.在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=2,AD=3,AA'=1,以D为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则下列说法正确的是( ) A.=(-3,-2,1) B.异面直线A'D与BD'夹角的余弦值为 C.平面A'C'D的一个法向量为(-2,-3,6) D.二面角C'-A'D-D'的平面角的余弦值为 11.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4,E为棱CC1上的一个动点,则( ) A.A1B1⊥BE B.三棱锥E-B1BD1的体积为定值 C.存在点E,使得AC∥平面BD1E D.存在点E,使得B1D⊥平面BD1E 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知a=(2,2,1),b=(1,0,0),则a在b方向上的投影向量为 . 13.中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“刍童”的几何体,该几何体是上下两个底面平行,且均为矩形的六面体.现有一“刍童”ABCD-A1B1C1D1(如图所示),AB=AA1=4,A1B1=AD=2,A1D1=1,AB∥A1B1,∠BAA1+∠DAA1=,A1C1与B1D1的交点为O,则·的最大值为 . 14.将正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,异面直线AD与BC的夹角为 . 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),设a=,b=. (1)若|c|=3,且c∥,求向量c; (2)已知向量ka+b与b互相垂直,求实数k的值. 16.(15分)如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于1,E,F分别是AB,AD的中点,设{a,b,c}为空间向量的一组基,=a,=b,=c,试用基向量法求解下列各题. (1)求·的值; (2)求异面直线CF与BD夹角的余弦值. 17.(15分)一个半圆柱如图所示,E为半圆弧. (1)若AD=2,求四棱锥E-ABCD的体积的最大值; (2)有三个条件:①4··.请你从中选择两个作为条件,求直线AD与平面EAB夹角的余弦值. 18.(17分)如图,在四边形PDCB中,PD∥BC,BA⊥PD,PA=AB=BC=1,AD=. (1) ... ...
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