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课件网) §2.5 几种重要的连续型分布 * 若随机变量X的概率密度为 则称X服从区间[a, b]上的均匀分布，记作 2.5.1 均匀分布 * 容易求得它的分布函数为 * 许多随机现象都可以用均匀分布刻画，例如， ◎数值计算中保留到小数点后第一位，四舍五 入引起的误差服从[-0.05，0.05]上的均匀分布； 保留到小数点后第二位，四舍五入引起的误差 服从[-0.005, 0.005]上的均匀分布．以此类推． ◎向区间[a，b]上等可能地投点，落点坐标Ｘ 服从区间[a，b]上的均匀分布． 所谓“均匀”，是指Ｘ落在区间[a，b]中的任一 小区间的概率等于该小区间的长度与区间[a，b]的 长度之比，而与小区间的位置无关． * ◎如果一个人无预期地来到公共汽车站，那么他候车 时间与到站时间均服从 上的均匀分布，其中 是公共汽车站发车的时间间隔. ◎汽车遇到红灯时，等待时间服从区间 上的均匀分布，其中 是红灯持续的时间长度． * 例2.25 某长途汽车站每隔1小时发一班车， 某人随机地来到始发站．试求他等车时间少于15 分钟的概率． 解 设Ｘ为乘客等车的时间，则 其概率密度为 故所求概率为 * 2.5.2 指数分布 若连续型随机变量Ｘ的概率密度为 记作 分布函数为 * 因为概率密度中的非零部分是一个指数函 数，所以称这种分布为“指数分布”．指数分布常 可作为各种“寿命”分布的近似． ◎电子元件的寿命； ◎动物的寿命； ◎电话问题中的通话时间； ◎随机服务系统中的服务时间； ◎顾客要求某种服务(到银行取钱，到车站售 票处购买车票等)需要排队等待的时间． * 例2.26 设某电子元件的寿命X服从参数为3的指数分布.(1)求该电子元件寿命不超过2年的概率；(2)已知该电子元件已使用了1年，求它还能使用2年的概率. 解 2.5.3 正态分布 先证明概率积分公式: 事实上， 若连续型随机变量X的概率密度为 * 其中 为常数，则称Ｘ服从参数为 的正态分布，记作 （2.13） 利用概率积分公式可以验证(2.13)式所示的 函数是概率密度. * 由图可知，f(x)的图形呈钟形，且有如下特征： (1)关于直线x=μ对称 * (2)在x=μ处取得最大值 (3)在x=μ±σ处有拐点 (4)当x→∞时，曲线以x轴为渐近线 如果固定σ，改变μ的值，则图形沿着x轴平移，而图形的形状不变 * 如果固定μ，改变σ的值，由最大值 可知随着σ的增大，图形越平坦，随着σ的减小，图形越陡峭，但图形的对称轴没有改变 一般认为，正态分布始于1733年法 棣莫佛(1667-1754) 高斯(1777-1855) 国数学家棣莫佛 次数分布逼近的研究．19世纪初，高斯 它．由于这个原因，文献中也常把正态 分布称为高斯分布． “正态”意谓“正常 的状态”，就是说若在观察或试验中不 出现重大的失误，则结果应遵从正态 分布．这个看法有大量经验事实作为 支持，也有理论上的依据，这大概就 是“正态分布”这个名称的由来． 对大量抛硬币出现正面 在研究测量误差时，从另一个角度引进 * 第五章的中心极限定理表明： 一个变量 如果是由大量独立起微小作用的随机因素的叠 加结果，那么这个变量一定是正态变量．因此 很多随机变量可以用正态分布描述或近似描 述，例如： ◎射击目标的水平或垂直测量误差； ◎成年男(女)子的身高、体重； ◎加工零件的尺寸； ◎某市一次统考的考生成绩； ◎一个地区的年降雨量． * 若 则称Ｘ服从标准正态分布或 称Ｘ是一个标准正态随机变量，其概率密度和分 布函数分别为 特别用专用符号 分别表示标 和 准正态概率密度和分布函数，从一个侧面说明 了标准正态分布的重要性． * (1)关于直线x=0对称，即 是偶函数 * (2)在x=0处取得最大值 (3)在x=±1处有拐点 (4)当x→∞时，曲线以x轴为渐近线 我们先研究标准正态密度 的性质： 表 ... ...
