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课件网) * §4.4 * 对多维随机变量， 随机变量的期望和方差值只反映 了各自的平均值 与偏离程度， 并不能反映随机变量之间 的关系. 本节将要讨论的协方差是反映随机变量之间依 赖关系的一个数字特征. 在证明方差的性质时，我们已经知道， 当 和 相互独立时，有 反之说明，当 时， 和 一定不相互独立. 这说明 定程度上反映了 在一 随机变量 和 之间的关系. * 4.4.1 协方差的定义 定义4 covariance 设 为二维随机变量，若 存在， 则称其为随机变量 X 和Y 的协方差，记为 即 (4.11) * 按定义，若 离散型随机变量， 其分布列为 则 (4.12) 若 为连续型随机变量， 其概率密度为 ，则 (4.13) * 此外，利用期望的性质， 易将协方差的计算化简为 (4.14) 事实上， 当X 和Y 相互独立时，有 ，所以 * 4.4.2 协方差的性质 (1)协方差的基本性质 ① ② ③ a,b是任意常数 ④ ⑤ ，其中C 为任意常数. (2)协方差与方差的一般关系 (4.15) 特别地， 当X 和Y 相互独立时，有 * 【例4.16】 已知二维离散型随机变量 的分布列为 解 先求出边缘分布， 求 * 于是有 计算得 所以 * 【例4.17】 设 (X,Y )的联合密度函数为 解 的非零区域如图所示 ,同理可得 * * 4.4.3 相关系数的定义 协方差是对两个随机变量协同变化的度量， 其大小在 一定程度上反映了X 和 Y 相互间的关系， 但它还受X 和Y 本身度量单位的影响. 例如，kX 和kY 之间的统计关系与 与X 和Y 之间的统计关系应该是一样的， 但其协方差却 扩大了 倍，因为 为了避免随机变量因本身度量单位不同而影响它们 之间的相互关系的度量， 可将每个随机变量标准化， 即取 * 并将 作为X 和Y 之间相互关系的一种 度量，而 定义5 设(X,Y )为二维随机变量， 称 有时也记 为 .特别地， * 4.4.4 相关系数的性质 证 由方差的性质和协方差的定义知， 对任意的实数 b，有 令 ,则 由于方差总是为正的，故必有 ，所以 * 若X 和Y 相互独立，则 ，即X 和Y 不相关. (3) 其中当 时，有 ；其中当 时，有 即Y 随X 的增大有增大 的趋势； 即Y 随X 的增大有减小 的趋势. * 注 (1)相关系数 刻画了随机变量X 和Y 之间的 的“线性关系”程度. 的值越接近1，X 和Y 的线性 程度越高； 的值越接近0，X 和Y 的线性程度越弱. 当 时，Y 与X 的变化可完全由X 的线性函数给出. 当 时，Y 与X 之间不是线性关系. (2) 当 时，只说明Y 与X 没有线性关系， 并不能说明Y 与X 没有其它的函数关系， 也不能推出Y 与X 相互独立. * 若随机变量X 和Y 相互独立，则下列四条都成立且彼此等价： ① ② ③ ④ X 和Y 不相关，即相关系数 反之，以上四条的某一条成立，不一定能推出X 和Y 相互独立. (3) 我们将几个重要知识结论总结如下： * 【例4.18】 设 的联合分布列为 易知 ,于是 X 和Y 不相关. 这表示X 和Y 不存在线性关系.但 故X 和Y 不是相互独立的. * 4.4.5 二维正态分布的数字特征 二维正态分布是重要的二维连续型分布之一， 由 第3章定理6可知，若 ，则 .即 分别是随 机变量 的数学期望与方差， 分别是随机变量 的数学 期望与方差， 这样我们就清楚了二维正态分布 前四个参数的含义.那么， 第五个参数 的含义是什么？ * 定理3 则其中的参数 即为X、Y 的相关系数 证 由相关系数的定义 作变量代换 ，注意到 ，有 * * 定理4 则 X 和Y 相互独立的充要条件是相关 系数 证 必要性已证， 只需证充分性.若X 和Y 不相关， 即相关系数 ，此时 的二维联合概率密度为 则X 和Y 相互独立. 上述定理表明， 一般来说X 和Y 不相关， 不能推出X 和 Y 相互独立， 但对于二维正态随机变量 ，X 和Y 不相 关与相互独立是等价的. ... ...
