(
课件网) 4.2.1 随机变量函数的数学期望 在许多实际问题中， 我们常常要考虑一个或多个 随机变量的函数的期望. 例如在研究某个家庭的收入 支出情况时， 我们可以简单的认为支出Y是收入X的 函数， 利用随机变量X的分布来求Y的期望， 就归结为 计算随机变量函数的期望. 【例4.4】设随机变量 X 的分布列为 要得 的期望, 可以先求 的分布列 这个例子启发我们: 若求 的数学期望, 并不需要先求 的分布列, 再求 的期望, 可以直接根据 的分布列去求 的期望. 定理1 设 是连续函数， Y是随机变量X的函数： (1) 设X是离散型随机变量， 分布列 若 收敛，则有 (4.3) (2) 设X是连续型随机变量， 概率密度为 ，若 收敛，则有 (4.4) 证明从略. 但是，从期望的定义不难解释这个定理结论的 正确性. 例如把(4.3)式中的 看成一个新的随机变量， 那么当X以概率 取值 时，它以概率 取值 ，因此 它的期望就是 .对(4.4)式也是如此. 此定理的重要性在于它提供了计算随机变量函数的期望 的一个简便方法， 不需要通过计算 的分布， 而直接利用 X的分布来计算.事实上计算 的分布有时也是一件不 容易的事. 【例4.5】 设随机变量 的分布列为 求 解 解 【例4.6】设随机变量 4.2.2二维随机变量函数的期望 根据定理1的结论容易得到二维随机变量函数的期 望的求法. 定理2 设 是二维随机变量， ，且 存在，于是 (2) 若 是离散型，其联合分布列为 则Z的期望为 (4.5) (1) 若 是连续型，其联合概率密度为 则Z的期望为 (4.6) 【例4.7】 设 的联合分布列为 求 于是， ，可先求X和Y的边缘分布列 解 要求 再将联合分布列改写为如下形式 于是 求E(X),E(Y),E(XY) 解 设 (X, Y ) 的联合概率密度是 【例4.8】 x y 0 1 先画出f(x,y)的非零区域的取值范围，如图，于是 4.2.3期望的性质 根据定理1和定理2， 我们可以证明期望的几个重要性质， 以下假设有关的期望都是存在的. 性质1 其中 是常数. 性质2 对任意常数 和 ，有 注 这个性质可推广到有限个随机变量之和的情形. 性质3 若 相互独立，则 以上性质，只对性质3的连续型进行证明，其它留给读者自行证明. 证 设 的联合概率密度是 ，其边缘概率密度 分别是 和 ，则 因为 相互独立， ，所以有 例如在例4.7中， 我们已经计算得 ，但 显然 故X与Y不相互独立 注性质3 若X,Y相互独立 【例4.9】 对例4.7中的随机变量 X和Y， 利用期望的性质求 解 利用期望的性质来求随机变量函数的期望，不失 为一种简便方法.
