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课件网) §4.3 方 差 随机变量的期望是对随机变量取值水平的综合评价. 方差是另一个十分重要的数字特征， 用它来度量随机变量 取值在其均值附近的平均偏离程度， 以此来判断随机变量 取值的稳定性. 我们从下面例子引入方差的定义 【例4.10】 甲、乙两名射击手进行射击比赛， 设他们 中靶环数分别为 其分布列为 X 6 7 P 8 0.1 0.8 0.1 Y 3 5 6 0.1 P 9 0.1 0.4 0.2 10 0.2 容易求得， .单从平均命中环数来看， 甲、乙两人射击水平是一样好。 但是，如果考虑 的取值 比 的取值更集中， 那么我们觉得甲的射击稳定性要比乙好。 因此，仅从数学期望来评价是不够的， 我们还要寻找反映 随机变量取值集中程度的数字特征。 设随机变量 的期望是 ，偏离量 本身 也是随机的， 为了刻画偏离程度的大小，不能使用 的期望, 因为其值一定为零， 即正负偏离抵消了. 为了避免 正负彼此抵消，可以使用 作为描述 取值分散 的数字特征， 称之为 的平均绝对差. 由于绝对值运算存有许多不便之处， 因此常用 的平均值来度量 X与 的偏离程度， 这个平均值就是方差. 4.3.1 方差的定义 定义3 设X为一个随机变量， 若 存在， 则 称之为 的方差， 记作 ，即 (4.7) 方差的算术平方根 称为标准差或均方差. 它与X具有相同的度量单位, 在实际应用中经常使用. 从方差的定义中易见： 若X的取值比较集中，则方差较 若X的取值比较分散，则方差较大. 小； 4.3.2方差的计算 (1)设X是离散型随机变量， 其分布列 则 (4.8) (2)设X是连续型随机变量， 概率密度为 ，则 (4.9) 由期望的性质，易得计算方差的一个简化公式 (4.10) 证 因为 ，而 所以， 1. 若X是离散型随机变量，其概率分布为 则 计算公式: 2. 若X为连续型随机变量，其概率密度为 f(x)， 则 某人有一笔资金准备投资房产和股市,其收益都与市场状态有关.通过调查,该投资者认为投资房产的收益X(万元)和投资股市的收益Y (万元)的分布列分别为 【例4.11】 解 问该投资者如何投资为好 先计算平均收益(期望) 从平均收益看,投资房产比投资股市划算,多收益0.1万元.下面再来计算各自的方差. 可以看到, 投资房产的方差比投资股市大.方差越大, 收益的波动越大,从而风险也就越大. 投资股市平均收益 比投资房产仅少0.1万元, 而风险要小得多. 因此, 该投资者还是选择股市投资为好. 4.3.3 常见分布的方差 (1) 0-1分布 设随机变量 ，X的分布列为 (2) 二项分布 设随机变量 ，X的分布列为 ，而 故 (3) 泊松分布 所以 设随机变量 ，X的分布列为 ，而 (4) 均匀分布 设随机变量 概率密度为 ，而 (5) 指数分布 设随机变量 概率密度为 ，而 可以看到， 期望和方差的大小总是同向变化， 用经济学， 术语来说， 就是高回报意味着高风险,低回报意味着低风险. 4.3.4方差的性质 性质4 D(C )=0，其中C是常数。 由方差的简化公式，性质4显然成立. 此性质也表明 常数的方差为零. 性质5 若k是常数, 则 证 根据方差简化公式得 直观地讲，常数与其期望没有任何偏离， 所以方差为零。 性质6 其中C是常数。 证 根据方差简化公式得 性质7 证 而 同理可证 特别地， 当X和Y相互独立时，有E(XY)=E(X)E(Y)， 所以 此时 注 对于n维情形，若X1,X2,…,Xn两两独立,则 【例4.12】 设随机变量X具有期望 ，方差 ，称 为X的标准化变量.且有 解 又X表示n重伯努利试验中的成功次数, 设 因此 X=X1+X2+…+Xn ， i=1,2,…,n 则 所以 Xi 相互独立， 【例4.13】 (二项分布)设 ,求 和 与前面求二项分布的期望，方差过程比较， 利用性质来求解显然要简单得多. 【例4.14】 解 先求标准正态变量 的数学期望和方差. 于是 (正态分布) 因 即得 这就是说，正态分布的概率密度中的两个参数 分别就是该分布的期望和方差 ... ...
